Segitiga mempunyai titik A (a, b), C (c, d), dan O (0, 0). Apakah persamaan dan kawasan bulatan segitiga segitiga itu?

Jawapan:

# (x-p) ^ 2 + (y-q) ^ 2 = s quad # di mana

#p = {d (a ^ 2 + b ^ 2) - b (c ^ 2 + d ^ 2)} / {2 (ad-bc)} #

#q = {a (c ^ 2 + d ^ 2) -c (a ^ 2 + b ^ 2)} / {2 (ad-bc)} #

#s = ((a ^ 2 + b ^ 2) (c ^ 2 + d ^ 2) ((a-c) ^ 2 + (b-d) ^ 2)) / (4 (ad-b c) ^ 2)

#A = pi s #

Penjelasan:

Saya umumkan soalan itu; mari kita lihat bagaimana keadaan itu berlaku. Saya meninggalkan satu titik di asal, yang menjadikannya sedikit kurang kemas, dan segitiga sewenang-wenangnya mudah diterjemahkan.

Segitiga ini tentunya tidak penting bagi masalah ini. Bulatan yang dilampirkan ialah lingkaran melalui tiga titik, yang menjadi tiga titik. Segitiga membuat penampilan mengejutkan dalam penyelesaiannya.

Beberapa istilah: lingkaran dibulatkan disebut segitiga circumcircle dan pusatnya segitiga circumcenter.

Persamaan umum untuk bulatan dengan pusat # (p, q) # dan jejari kuasa dua # s # adalah

# (x-p) ^ 2 + (y-q) ^ 2 = s #

dan kawasan bulatan itu #A = pi s. #

Kami mempunyai tiga tidak diketahui # p, q, s # dan kita tahu tiga mata, jadi kita mendapat tiga persamaan:

# p ^ 2 + q ^ 2 = s quad # kerana asal berada pada bulatan.

# (a-p) ^ 2 + (b-q) ^ 2 = s #

# (c-p) ^ 2 + (d-q) ^ 2 = s #

Mari selesaikan persamaan serentak. Mari kita mengubahnya menjadi dua persamaan linear dengan memperluas dan menolak pasangan yang jumlahnya kalah # p ^ 2 + q ^ 2 # di sebelah kiri dan # s # di sebelah kanan.

# a ^ 2 - 2ap + p ^ 2 + b ^ 2 - 2aq + q ^ 2 = s #

Mengurangkan, # a ^ 2 + b ^ 2 - 2ap - 2bq = 0 #

# 1/2 (a ^ 2 + b ^ 2) = ap + bq #

Begitu juga, # 1/2 (c ^ 2 + d ^ 2) = cp + dq #

Itulah dua persamaan dalam dua yang tidak diketahui. # AX = K # mempunyai penyelesaian # X = A ^ {- 1} K. # Saya masih ingat dua hingga dua matriks yang saya tidak tahu cara format, #A ^ {- 1} = 1 / {ad-bc} (stackrel {d, -b} {-c, a}) #

Bagi kami itu bermakna

#p = {d (a ^ 2 + b ^ 2) - b (c ^ 2 + d ^ 2)} / {2 (ad-bc)} #

#q = {a (c ^ 2 + d ^ 2) -c (a ^ 2 + b ^ 2)} / {2 (ad-bc)} #

dan jejari kuasa dua

#s = p ^ 2 + q ^ 2 #

#s = {(d (a ^ 2 + b ^ 2) - b (c ^ 2 + d ^ 2)) ^ 2 + (a (c ^ 2 + d ^ 2) -c (a ^ 2 + b ^ 2)) ^ 2} / {4 (ad-bc) ^ 2} #

#s = ((a ^ 2 + b ^ 2) (c ^ 2 + d ^ 2) ((a-c) ^ 2 + (b-d) ^ 2)) / (4 (ad-b c) ^ 2)

jadi kawasan # pi # kali jumlah itu.

Kita dapat melihat ungkapan menjadi lebih simetris jika kita mempertimbangkan apa yang berlaku untuk segitiga sewenang-wenangnya #(A B C D E F).# Kami menetapkan # a = A-E, ## b = B-F, ## c = C-E, ## d = D-F # tetapi saya tidak akan melakukannya sekarang.

Saya akan perhatikan pengangka # s # adalah hasil daripada tiga segi kuasa dua segi tiga, dan penyebut # s # adalah enam belas kali kawasan segi tiga segi tiga.

Dalam panjang kuasa dua Trigonometri Rasional dipanggil kuadran dan enam belas kali kawasan kuasa dua dipanggil quadrea. Kami mendapati kuadran radius dari circumcircle adalah hasil kuadran segitiga yang dibahagi dengan kuadreanya.

Sekiranya kita memerlukan radius atau kawasan circumcircle, kita dapat meringkaskan hasilnya di sini sebagai:

Radi sekeliling lingkaran adalah hasil dari segi panjang segi tiga yang dibahagi dengan enam belas kali kawasan segi tiga segitiga.

# r ^ 2 = {a ^ 2b ^ 2c ^ 2} / {16A ^ 2} #