Buktikan: 3cos ^ -1x = cos ^ -1 (4x ^ 3-3x)?

Untuk membuktikan # 3cos ^ -1x = cos ^ -1 (4x ^ 3-3x) #

Biarkan # cos ^ -1x = theta #

# => x = costheta #

Sekarang # LHS = 3theta #

# = cos ^ -1cos (3theta) #

# = cos ^ -1 (4cos ^ 3theta-3costheta) #

# = cos ^ -1 (4x ^ 3-3x) #

Tunjukkan

# 3 arccos x = arccos (4x ^ 3 -3 x) #

Kadang-kadang trig kurang mengenai melakukan matematik dan lebih banyak mengenali matematik apabila kita melihatnya. Di sini kita mengenali # 4x ^ 3 -3x # sebagai formula sudut triple kosinus, # cos (3 theta) # bila # x = cos theta #.

Factoid: # 4x ^ 3-3x # juga dipanggil # T_3 (x) #, Polisial Chebyshev ketiga yang pertama. Secara umum, # cos (nx) = T_n (cos x). #

Kami akan menganggapnya # arccos # merujuk kepada nilai utama. Saya lebih suka memanggil prinsipal #text {Arc} text {cos} # tetapi itu lebih sukar untuk menaip.

Latar belakang yang cukup. Sebaik sahaja kita telah mengenali formula sudut tiga, bukti itu mudah.

Bukti:

Biarkan #theta = arccos x. #

# x = cos theta #

# cos 3 theta = 4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta #

# cos 3 (arccos x) = 4x ^ 3 - 3 x #

# 3 arccos x = arccos (4x ^ 3 - 3x) quad sqrt #