Buktikan nilai (a ^ 2 + b ^ 2) e ^ (iarctan (b / a)) = a + bi?

Jawapan:

Dalam Penjelasan

Penjelasan:

Di atas kapal koordinat biasa, kami mempunyai koordinat seperti (1,2) dan (3,4) dan barangan seperti itu. Kami boleh mengungkapkan semula koordinat ini dengan istilah radii dan sudut. Jadi jika kita mempunyai titik (a, b) itu bermakna kita pergi unit ke kanan, unit b dan #sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # sebagai jarak antara asal dan titik (a, b). saya akan panggil #sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) = r #

Jadi kita ada # re ^ arctan (b / a) #

Sekarang untuk menyelesaikan bukti ini mari kita ingat formula.

# e ^ (itheta) = cos (theta) + isin (theta) #

Fungsi arc tan memberi saya sudut yang juga theta.

Oleh itu kita mempunyai persamaan berikut:

arctan (b / a) = cos (arctan (b / a)) + sin (arctan (b / a)) #

Sekarang mari kita buat segitiga yang tepat.

Arctan of (b / a) memberitahu saya bahawa b adalah sebaliknya dan sebaliknya. Jadi jika saya mahukan kos arktan (b / a), kami menggunakan Teorema Pythagoras untuk mencari hipotenus. Hipotenuse ini #sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #. Jadi cos (arctan (b / a)) = bersebelahan dengan hypotenuse = # a / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #.

Bahagian yang terbaik tentang ini adalah hakikat bahawa prinsip yang sama ini digunakan untuk sinus. Jadi sin (arctan (b / a)) = bertentangan dengan hypotenuse = # b / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #.

Jadi sekarang kita boleh menyatakan semula jawapan kita seperti ini: #r * ((a / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) + (bi / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2))) #.

Tetapi ingatlah #r = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # jadi sekarang kita ada: #r * ((a / r) + (bi / r)) #. Batalkan, dan anda dibiarkan dengan yang berikut: # a + bi #

Oleh itu, # (re ^ ((arctan (b / a)))) = a + bi #