Soalan # 90cf3 + Contoh

Jawapan:

Untuk mencari akar persamaan seperti # e ^ x = x ^ 3 #, Saya cadangkan anda menggunakan kaedah analisis berangka rekursif yang dipanggil Kaedah Newton

Penjelasan:

Mari buat contoh.

Untuk menggunakan kaedah Newton, anda menulis persamaan dalam bentuk #f (x) = 0 #:

# e ^ x - x ^ 3 = 0 #

Pengiraan #f '(x) #:

# e ^ x - 3x ^ 2 #

Kerana kaedah ini memerlukan kita melakukan pengiraan yang sama banyak kali, sehingga ia menumpu, saya mengesyorkan agar anda menggunakan hamparan Excel; Selebihnya jawapan saya akan mengandungi arahan bagaimana untuk melakukannya.

Masukkan tekaan yang baik untuk x ke dalam sel A1. Untuk persamaan ini, saya akan masuk 2.

Masukkan sel berikut ke dalam sel A2:

= A1- (EXP (A1) - A1 ^ 3) / (EXP (A1) - 3 * A1 ^ 2)

Sila perhatikan bahawa di atas adalah bahasa spreadsheet Excel untuk

# x_2 = x_1 - (e ^ (x_1) -x_1 ^ 3) / (e ^ (x_1) -3x_1 ^ 2) #

Salin kandungan sel A2 ke A3 melalui A10. Selepas hanya 3 atau 4 rekursi, anda dapat melihat bahawa kaedah telah disatukan

#x = 1.857184 #

Jawapan:

Kita boleh menggunakan Teorem Nilai Pertengahan untuk melihat bahawa setiap pasangan mempunyai sekurang-kurangnya satu titik persimpangan.

Penjelasan:

#f (x) = e ^ x-x ^ 2 # adalah berterusan pada keseluruhan talian sebenar.

Pada # x = 0 #, kita ada #f (0) = 1 #.

Pada # x = -1 #, kita ada #f (-1) = 1 / e-1 # yang negatif.

# f # berterusan #-1,0#, jadi ada sekurang-kurangnya satu # c # dalam #(-1,0)# dengan #f (c) = 0 #.

#g (x) = e ^ x-x ^ 3 # adalah berterusan pada keseluruhan talian sebenar.

Pada # x = 0 #, kita ada #g (0) = 1 #.

Pada # x = 2 #, kita ada #g (2) = e ^ 2-8 # yang negatif.

(Perhatikan bahawa # e ^ 2 ~~ 2.7 ^ 2 <7.3 <8 #.)

# g # berterusan #0,2#, jadi ada sekurang-kurangnya satu # c # dalam #(0,2)# dengan #g (c) = 0 #.