Apakah persamaan garis tangen f (x) = (x-3) / (x-4) ^ 2 pada x = 5?

Persamaan garis tangen adalah bentuk:

# y = warna (oren) (a) x + warna (ungu) (b) #

di mana # a # adalah cerun garis lurus ini.

Untuk mencari cerun garis tangen ini kepada #f (x) # pada titik # x = 5 # kita perlu membezakannya #f (x) #

#f (x) # adalah fungsi khianat borang # (u (x)) / (v (x)) #

di mana #u (x) = x-3 # dan #v (x) = (x-4) ^ 2 #

#color (biru) (f '(x) = (u' (x) v (x) -v '(x) u (x)) / (v (x)

#u '(x) = x'-3' #

#color (merah) (u '(x) = 1) #

#v (x) # adalah fungsi komposit jadi kita perlu memohon peraturan rantai

biarlah #g (x) = x ^ 2 # dan #h (x) = x-4 #

#v (x) = g (h (x)) #

#color (merah) (v '(x) = g' (h (x)) * h '(x)) #

#g '(x) = 2x # kemudian

#g '(h (x)) = 2 (h (x)) = 2 (x-4) #

#h '(x) = 1 #

#color (merah) (v '(x) = g' (h (x)) * h '(x)) #

#color (merah) (v '(x) = 2 (x-4) #

#color (biru) (f '(x) = (u' (x) v (x) -v '(x) u (x)) / (v (x)

#f '(x) = (1 * (x-4) ^ 2-2 (x-4) (x-3)) / ((x-4) ^ 2) ^ 2 #

#f '(x) = ((x-4) ^ 2-2 (x-4) (x-3)) / (x-4) ^ 2 #

#f '(x) = ((x-4) (x-4-2 (x-3))) / (x-4) ^ 4 #

#f '(x) = ((x-4) (x-4-2x + 6)) / (x-4) ^ 4 #

#f '(x) = ((x-4) (- x + 2)) / (x-4) ^ 4 #

memudahkan faktor umum # x-4 # antara pengangka dan penyebut

#color (biru) (f '(x) = (- x + 2) / (x-4) ^ 3) #

Kerana garis tangen melewati titik tersebut # x = 5 # jadi kita boleh mencari nilai cerun # a # dengan menggantikan # x = 5 # dalam # f '(x) #

#color (oren) (a = f '(5)) #

#a = (- 5 + 2) / (5-4) ^ 3 #

# a = -3 / 1 ^ 3 #

#color (oren) (a = -3) #

Memandangkan abscissa titik tangency #color (coklat) (x = 5) # membolehkan

mari mencari ordinatnya # y = f (5) #

#color (coklat) (y = f (5)) = (5-3) / (5-4) ^ 4 #

# y = 2/1 #

#color (coklat) (y = 2) #

Mempunyai koordinat titik tangency #color (coklat) ((5; 2)) # dan cerun #color (oren) (a = -3) # mari cari #color (ungu) (b) #

membolehkan pengganti semua nilai yang diketahui dalam persamaan garis tangen untuk mencari nilai #color (ungu) (b) #

#color (coklat) (y) = warna (oren) (a) warna (coklat) (x) + warna (ungu) (b) #

# 2 = -3 (5) + warna (ungu) (b) #

# 2 = -15 + warna (violet (b) #

# 17 = warna (ungu) (b) #

oleh itu, persamaan garis tangen pada titik #color (coklat) ((5; 2)) # adalah:

# y = -3x + 17 #