Selesaikan persamaan kebezaan: (d ^ 2y) / (dx ^ 2) -8 (dy) / (dx) = -16y? Bincangkan persamaan pembezaan jenis ini, dan apabila ia mungkin timbul?

Jawapan:

#y = (Ax + B) e ^ (4x) #

Penjelasan:

# (d ^ 2y) / (dx ^ 2) -8 (dy) / (dx) = -16y #

terbaik ditulis sebagai

# (d ^ 2y) / (dx ^ 2) -8 (dy) / (dx) + 16y = 0 qquad triangle #

yang menunjukkan bahawa ini adalah persamaan kebezaan homogen urutan kedua linear

ia mempunyai persamaan ciri

# r ^ 2 -8 r + 16 = 0 #

yang boleh diselesaikan seperti berikut

# (r-4) ^ 2 = 0, r = 4 #

ini adalah akar yang berulang supaya penyelesaian umum dalam bentuk

#y = (Ax + B) e ^ (4x) #

ini tidak berosilasi dan model sejenis tingkah laku eksponen yang benar-benar bergantung pada nilai A dan B. Satu mungkin meneka ia boleh menjadi percubaan untuk model populasi atau pemangsa / interaksi mangsa tetapi saya tidak boleh mengatakan apa-apa yang sangat spesifik.

ia menunjukkan ketidakstabilan dan itulah yang saya boleh katakan

Jawapan:

# y = (C_1 + C_2x) e ^ {lambda x} #

Penjelasan:

Persamaan pembezaan

# (d ^ 2y) / (dx ^ 2) -8 (dy) / (dx) + 16y = 0 #

adalah persamaan pekali konstan homogen.

Bagi persamaan tersebut penyelesaian umum mempunyai struktur

#y = e ^ {lambda x} #

Penggantian yang kita ada

# e ^ {lambda x} (lambda ^ 2-8lambda + 16) = 0 #

Di sini # e ^ {lambda x} ne 0 # jadi penyelesaian mesti patuh

# lambda ^ 2-8lambda + 16 = (lambda-4) ^ 2 = 0 #

Penyelesaian kami dapatkan

# lambda_1 = lambda_2 = 4 #

Apabila akar berulang, # d / (d lambda) e ^ {lambda x} # juga penyelesaian. Dalam kes # n # akar berulang, kita akan mempunyai sebagai penyelesaian:

#C_i (d ^ i) / (d lambda ^ i) e ^ {lambda x} # untuk # i = 1,2, cdots, n #

Oleh itu, untuk mengekalkan bilangan keadaan permulaan, kami memasukkannya sebagai penyelesaian bebas.

Dalam kes ini kita ada

#y = C_1 e ^ {lambda x} + C_2d / (d lambda) e ^ {lambda x} #

yang menyebabkan

# y = (C_1 + C_2x) e ^ {lambda x} #

Persamaan tersebut muncul apabila pemodelan sistem parameter lumped linear seperti yang terdapat dalam teori litar linear atau mekanik linier. Persamaan tersebut biasanya dikendalikan menggunakan kaedah aljabar operasi seperti kaedah Laplace Transform