Bagaimana anda menyelesaikan ketidaksamaan 1 / (x + 1)> 3 / (x-2)?

Jawapan:

#x <- 5/2 warna (putih) (xx) # atau #color (putih) (xx) -1 <x <2 #

Penjelasan:

Pertama sekali, perhatikan bahawa ketidaksamaan anda hanya ditentukan jika penyebut anda tidak sama dengan sifar:

# x + 1! = 0 <=> x! = -1 #

# x - 2! = 0 <=> x! = 2 #

Sekarang, langkah seterusnya ialah "menyingkirkan" pecahan. Ini boleh dilakukan jika mengalikan kedua-dua belah ketidaksamaan dengan # x + 1 # dan # x-2 #.

Walau bagaimanapun, anda perlu berhati-hati kerana jika anda membiak ketidaksamaan dengan nombor negatif, anda mesti mengalihkan tanda ketidaksamaan.

=========================================

Mari kita pertimbangkan kes-kes yang berbeza:

kes 1: #color (putih) (xxx) x> 2 #:

Kedua-duanya # x + 1> 0 # dan # x - 2> 0 # memegang. Oleh itu, anda dapat:

# x - 2> 3 (x + 1) #

# x - 2> 3x + 3 #

… pengiraan # -3x # dan #+2# di kedua belah pihak …

# -2x> 5 #

… dibahagikan dengan #-2# di kedua-dua belah pihak. Sebagai #-2# adalah nombor negatif, anda mesti flip tanda ketidaksamaan …

#x <- 5/2 #

Walau bagaimanapun, tidak ada # x # yang memuaskan kedua-dua keadaan #x> 2 # dan #x <- 5/2 #. Oleh itu, tidak ada penyelesaian dalam kes ini.

=========================================

kes 2: #color (putih) (xxx) -1 <x <2 #:

Di sini, # x + 1> 0 # tetapi # x - 2 <0 #. Oleh itu, anda perlu memetik tanda ketidaksamaan sekali dan anda dapat:

#color (putih) (i) x - 2 <3 (x + 1) #

#color (putih) (x) -2x <5 #

… dibahagikan dengan #-2# dan flip tanda ketidaksamaan lagi …

#color (putih) (xxx) x> -5 / 2 #

Ketidaksamaan # x> -5 / 2 # adalah benar untuk semua # x # dalam selang waktu # -1 <x <2 #. Oleh itu, dalam kes ini, kita mempunyai penyelesaian # -1 <x <2 #.

=========================================

kes 3: #color (putih) (xxx) x <-1 #:

Di sini, kedua penyebutnya adalah negatif. Oleh itu, jika anda melipatgandakan ketidaksamaan dengan kedua-dua mereka, anda perlu membalikkan tanda ketidaksamaan dua kali dan anda akan mendapat:

# x - 2> 3x + 3 #

#color (putih) (i) -2x> 5 #

#color (putih) (xxi) x <- 5/2 #

Seperti keadaan #x <-5 / 2 # lebih ketat daripada keadaan #x <-1 #, penyelesaian untuk kes ini adalah #x <- 5/2 #.

=========================================

Secara keseluruhan, penyelesaiannya adalah

#x <- 5/2 warna (putih) (xx) # atau #color (putih) (xx) -1 <x <2 #

atau, jika anda lebih suka notasi yang berbeza,

#x dalam (- oo, -5/2) uu (-1, 2) #.

Jawapan:

# - oo, -5/2 uu -1, 2 #

Penjelasan:

# 1 / (x + 1)> 3 / (x-2) #

biarkan terus berlalu ke sebelah kiri ketidaksamaan dengan menolak # 3 / (x-2) #:

# 1 / (x + 1) -3 / (x-2)> 0 #

Sekarang kita mesti meletakkan semua ketaksamaan kita penyebut yang sama. Bahagian dengan (x + 1) kita berlipat ganda dengan # (x-2) / (x-2) # (iaitu 1!) dan sebaliknya:

# x-2) / ((x + 1) (x-2)) - (3 (x + 1)) / ((x + 1)

Kami melakukan tipuan sebelum ini, untuk mempunyai semua ketaksamaan dengan penyebut yang sama:

# (- 2x-5) / ((x + 1) (x-2))> 0 #.

# (x + 1) (x-2) # sepadan dengan parabola yang memberikan nilai positif dalam inestimal # -oo, -1 uu 2, + oo # dan nilai negatif dalam selang waktu #-1, 2#. Ingat bahawa x tidak boleh -1 atau 2 kerana memberikan penyebut sifar.

Dalam kes pertama (penyebut positif) kita dapat memudahkan ketaksamaan ke dalam:

# -2x-5> 0 # dan #x in -oo, -1 uu 2, + oo #

yang memberi:

#x <-5 / 2 # dan #x in -oo, -1 uu 2, + oo #.

Pemintasan jarak di atas memberi #x <-5 / 2 #.

Dalam kes kedua, penyebutnya adalah negatif, jadi bagi hasil memberikan nombor positif, pengangka mesti negatif:

# -2x-5 <0 # dan # x in -1, 2 #

yang memberi

# x> -5 / 2 #. dan # x in -1, 2 #

Pemintasan selang memberi # x in -1, 2 #

Menyertai penyelesaian dua kes yang kami dapat:

# - oo, -5/2 uu -1, 2 #