Apa nombor kompleks? Thanx.

Nombor kompleks adalah nombor borang # a + bi # di mana # a # dan # b # nombor sebenar dan # i # didefinisikan sebagai # i = sqrt (-1) #.

(Di atas adalah definisi asas nombor kompleks. Baca lebih lanjut mengenai mereka.)

Sama seperti bagaimana kita menunjukkan set nombor sebenar sebagai # RR #, kami menggambarkan set nombor kompleks sebagai # CC #. Perhatikan bahawa semua nombor sebenar juga nombor kompleks, seperti mana-mana nombor sebenar # x # boleh ditulis sebagai # x + 0i #.

Memandangkan nombor kompleks # z = a + bi #, kita katakan itu # a # adalah bahagian sebenar nombor kompleks (dilabelkan # "Re" (z) #) dan # b # adalah bahagian khayalan nombor kompleks (dilabelkan # "Im" (z) #).

Melakukan operasi dengan bilangan yang kompleks adalah sama dengan melakukan operasi pada binomial. Memandangkan dua nombor kompleks # z_1 = a_1 + b_1i # dan # z_2 = a_2 + b_2i #

# z_1 + z_2 = a_1 + b_1i + a_2 + b_2i = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2) i #

# z_1-z_2 = a_1 + b_1i- (a_2 + b_2i) = (a_1-a_2) + (b_1-b_2) i #

# z_1xxz_2 = (a_1 + b_1i) (a_2 + b_2i) #

# = a_1a_2 + a_1b_2i + a_2b_1i + b_1b_2i ^ 2 #

# = a_1a_2 + a_1b_2i + a_2b_1i-b_1b_2 # (ingat # i = sqrt (-1) #)

# = (a_1a_2-b_1b_2) + (a_1b_2 + a_2b_1) i #

# z_1-: z_2 = (a_1 + b_1i) / (a_2 + b_2i) #

# = ((a_1 + b_1i) (a_2-b_2i)) / ((a_2 + b_2i) (a_2-b_2i)) #

# = ((a_1a_2 + b_1b_2) + (a_2b_1-a_1b_2) i) / (a_2 ^ 2 + b_2 ^ 2) #

# = (a_1a_2 + b_1b_2) / (a_2 ^ 2 + b_2 ^ 2) + (a_2b_1-a_1b_2) / (a_2 ^ 2 + b_2 ^ 2) i #

Untuk bahagian, kami menggunakan hakikat bahawa # (a + bi) (a-bi) = a ^ 2 + b ^ 2 #. Memandangkan nombor kompleks # z = a + bi # kami panggil # a-bi # yang conjugate kompleks daripada # z # dan menandakannya #bar (z) # Ia adalah harta yang berguna (seperti yang dilihat di atas) itu # zbar (z) # sentiasa nombor sebenar.

Nombor kompleks mempunyai banyak aplikasi dan atribut yang berguna, tetapi satu yang sering dihadapi awal adalah penggunaannya dalam polynomials pemfaktoran. Sekiranya kita mengehadkan diri hanya kepada nombor sebenar, polinomial seperti # x ^ 2 + 1 # tidak dapat dipertimbangkan selanjutnya, tetapi jika kita membenarkan nombor kompleks, maka kita ada # x ^ 2 + 1 = (x + i) (x-i) #.

Malah, jika kita membenarkan bilangan kompleks, maka mana-mana polinomial ijazah tunggal berubah # n # boleh ditulis sebagai produk dari # n # faktor linear (mungkin dengan beberapa yang sama). Hasil ini dikenali sebagai teorem asas algebra, dan, seperti yang ditunjukkan namanya, sangat penting untuk algebra dan mempunyai aplikasi yang luas.