Apakah derivatif f (x) = sec ^ -1 (x)?

# d / dx sec ^ -1x = 1 / (sqrt (x ^ 4 - x ^ 2)) #

Proses:

Pertama, kita akan membuat persamaan itu lebih mudah untuk ditangani. Ambil secant kedua-dua pihak:

#y = sec ^ -1 x #

#sec y = x #

Seterusnya, tulis semula dari segi # cos #:

# 1 / cos y = x #

Dan selesaikan # y #:

# 1 = xcosy #

# 1 / x = cozy #

#y = arccos (1 / x) #

Sekarang ini kelihatan lebih mudah untuk dibezakan. Kami tahu itu

# d / dx arccos (alpha) = -1 / (sqrt (1-alpha ^ 2)) #

jadi kita boleh menggunakan identiti ini serta aturan rantai:

# dy / dx = -1 / sqrt (1 - (1 / x) ^ 2) * d / dx 1 / x #

Sedikit pemudahan:

# dy / dx = -1 / sqrt (1 - 1 / x ^ 2) * (-1 / x ^ 2) #

Penyederhanaan sedikit lagi:

# dy / dx = 1 / (x ^ 2sqrt (1 - 1 / x ^ 2)) #

Untuk membuat persamaan yang lebih cantik saya akan bergerak # x ^ 2 # di dalam radikal:

# dy / dx = 1 / (sqrt (x ^ 4 (1 - 1 / x ^ 2))) #

Beberapa pengurangan akhir:

# dy / dx = 1 / (sqrt (x ^ 4 - x ^ 2)) #

Dan ada derivatif kami.

Apabila membezakan fungsi trig yang songsang, kekunci itu menjadikannya dalam bentuk yang mudah diuruskan. Lebih daripada apa-apa, mereka latihan dalam pengetahuan tentang identiti trig dan manipulasi algebra.