Apakah lereng garis normal ke garis tangen f (x) = sec ^ 2x-xcos (x-pi / 4) pada x = (15pi) / 8?

Jawapan:

# => y = 0.063 (x - (15pi) / 8) - 1.08 #

Grafik interaktif

Penjelasan:

Perkara pertama yang perlu kita lakukan ialah mengira #f '(x) # pada #x = (15pi) / 8 #.

Mari kita buat istilah ini mengikut istilah. Untuk # sec ^ 2 (x) # jangka, perhatikan bahawa kami mempunyai dua fungsi yang tersemat dalam satu sama lain: # x ^ 2 #, dan #sec (x) #. Oleh itu, kami perlu menggunakan peraturan rantai di sini:

# d / dx (sec (x)) ^ 2 = 2sec (x) * d / dx (sec (x)) #

#color (biru) (= 2sec ^ 2 (x) tan (x)) #

Untuk jangka ke-2, kita perlu menggunakan peraturan produk. Jadi:

(x-pi / 4)) = warna (merah) (d / dx (x)) cos (x-pi / 4) + warna (merah) (d / dxcos (x-pi /)) (x) #

#color (biru) (= cos (x-pi / 4) - xsin (x-pi / 4)) #

Anda mungkin tertanya-tanya mengapa kami tidak menggunakan peraturan rantai untuk bahagian ini, kerana kami ada # (x - pi / 4) # di dalam kosinus. Jawapannya adalah secara tersirat, tetapi kita tidak mengendahkannya. Perhatikan bagaimana derivatif # (x - pi / 4) # hanya 1? Oleh itu, pendaraban yang tidak berubah apa-apa, jadi kami tidak menuliskannya dalam pengiraan.

Kini, kami meletakkan semuanya bersama:

(x-pi / 4)) = warna (violet) (x-pi / 4) + xsin (x-pi / 4)) #

Perhatikan tanda-tanda anda.

Kini, kita perlu mencari cerun garis tangen untuk #f (x) # pada #x = (15pi) / 8 #. Untuk melakukan ini, kami hanya memasukkan nilai ini ke dalamnya #f '(x) #:

(15pi) / 8) = (2sec ^ 2 ((15pi) / 8) tan ((15pi) / 8) - cos ((15pi) / 8-pi / 4) + (15pi) / 8sin (15pi) / 8-pi / 4)) = warna (ungu) (~~ -6.79) #

Bagaimanapun, apa yang kita mahukan bukan garis tangen untuk f (x), tetapi garis itu normal untuk itu. Untuk mendapatkan ini, kita hanya mengambil timbangan negatif dari cerun di atas.

#m_ (norma) = -1 / -15.78 warna (ungu) (~~ 0.015) #

Sekarang, kita hanya patut semuanya ke dalam bentuk cerun mata:

#y = m (x-x_0) + y_0

# => y = 0.063 (x - (15pi) / 8) - 1.08 #

Lihat graf interaktif ini untuk melihat apa yang kelihatan seperti ini!

Harap yang membantu:)