Apakah cerun garis tangen sekurang-kurangnya lengkung yang lancar?

Cerun adalah #0#.

Minima (plural 'minimum') lengkung lancar berlaku di titik putar, yang secara definisi juga pegun mata. Ini dipanggil pegun kerana pada titik ini, fungsi kecerunan adalah sama dengan #0# (jadi fungsi itu tidak "bergerak", iaitu stesen). Jika fungsi kecerunan bersamaan dengan #0#, maka cerun garis tangen pada titik itu juga sama dengan #0#.

Contoh mudah untuk gambar adalah # y = x ^ 2 #. Ia mempunyai minimum pada asalnya, dan ia juga menjadi tangen kepada # x #- pada titik itu (yang mendatar, iaitu cerun #0#). Ini adalah kerana # dy / dx = 2x # dalam kes ini, dan bila # x = 0 #, # dy / dx = 0 #.

Baris (k-2) y = 3x memenuhi lengkung xy = 1 -x pada dua titik yang berbeza, Cari set nilai k. Nyatakan juga nilai-nilai k jika garis itu adalah tangen kepada lengkung. Bagaimana untuk mendapatkannya?

Persamaan garis boleh ditulis semula sebagai ((k-2) y) / 3 = x Menggantikan nilai x dalam persamaan lengkung, (((k-2) y) / 3) y = 1- (k-2) y) / 3 biarkan k-2 = a (y ^ 2a) / 3 = (3-ya) / 3 y ^ 2a + ya-3 = 0 Oleh kerana garis bersilang di dua titik yang berbeda, persamaan di atas mestilah lebih besar daripada sifar. Oleh itu, julat a, a (-oo, -12) uu (0, oo) oleh itu, (k-2) dalam (-oo, -12) uu (2, oo) Menambah 2 ke kedua-dua belah, k dalam (-oo, -10), (2, oo) Jika garis harus tangen, diskriminan mestilah sifar, kerana ia hanya menyentuh lengkung pada satu titik, iaitu [a + 12] = 0 (k-2) [k-2 + 12] = 0 Jadi, nilai k ialah 2 d

Bagaimanakah anda menemui semua titik pada lengkung x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 di mana garis tangen selari dengan paksi-x, dan titik di mana garis tangen selari dengan paksi-y?

Garis tangen selari dengan paksi x apabila cerun (jadi dy / dx) adalah sifar dan ia selari dengan paksi y apabila cerun (sekali lagi, dy / dx) pergi ke oo atau -oo Kita akan mula dengan mencari dy / dx: x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 d / dx (x ^ 2 + xy + y ^ 2) = d / dx (7) 2x + 1y + xdy / dx + 2y dy / dx = dy / dx = - (2x + y) / (x + 2y) Sekarang, dy / dx = 0 apabila pengimulator ialah 0, dengan syarat bahawa ini juga tidak menjadikan penyebut 0. 2x + y = 0 apabila y = -2x Kita sekarang, dua persamaan: x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 y = -2x Selesaikan (dengan menggantikannya) x ^ 2 + x (-2x) + (-2x) ^ 2 = 7 x ^ 2 -2x ^ 2 + 4x ^ 2 = 7 3x

Kurva ditakrifkan oleh parametric eqn x = t ^ 2 + t - 1 dan y = 2t ^ 2 - t + 2 untuk semua t. i) menunjukkan bahawa A (-1, 5_ terletak pada lengkung ii) mencari dy / dx. iii) dapatkan persamaan tangen ke lengkung di pt. A. ?

Kami mempunyai persamaan parametrik {(x = t ^ 2 + t-1), (y = 2t ^ 2-t + 2):}. Untuk menunjukkan bahawa (-1,5) terletak pada lengkung yang ditakrifkan di atas, kita mesti menunjukkan bahawa terdapat t_A tertentu seperti di t = t_A, x = -1, y = 5. Jadi, {(-1 = t_A ^ 2 + t_A-1), (5 = 2t_A ^ 2-t_A + 2):}. Penyelesaian persamaan atas menunjukkan bahawa t_A = 0 "atau" -1. Menyelesaikan bahagian bawah menunjukkan bahawa t_A = 3/2 "atau" -1. Kemudian, pada t = -1, x = -1, y = 5; dan oleh itu (-1,5) terletak pada lengkung. Untuk mencari cerun di A = (- 1,5), mula-mula kita temui ("d" y) / ("d"