Jawapan:
Lihat penjelasan …
Penjelasan:
Jika # p = q = r # maka:
# px ^ 2 + qx + r = qx ^ 2 + rx + p #
Jadi mana-mana sifar yang mereka ada akan sama.
Perhatikan bahawa syarat ini tidak diperlukan.
Sebagai contoh, jika # p = 0 #, #q! = 0 # dan #r! = 0 # maka:
# px ^ 2 + qx + r = 0 # mempunyai akar # x = -r / q #
# qx ^ 2 + rx + p = 0 # mempunyai akar # x = -r / q # dan # x = 0 #
Jadi dua persamaan mempunyai akar yang sama, tetapi #p! = q # dan kita tidak memerlukan # p + q + r = 0 #.
Jawapan:
Sila lihat di bawah.
Penjelasan:
Sebagai # px ^ 2 + qx + r = 0 # dan # qx ^ 2 + rx + p = 0 # mempunyai akar biasa, biarkan akar ini menjadi # alpha #. Kemudian
# palpha ^ 2 + qalpha + r = 0 # dan # qalpha ^ 2 + ralpha + p = 0 #
dan seterusnya # alpha ^ 2 / (pq-r ^ 2) = alpha / (qr-p ^ 2) = 1 / (pr-q ^ 2) #
dan # alpha = (qr-p ^ 2) / (pr-q ^ 2) # dan # alpha ^ 2 = (pq-r ^ 2) / (pr-q ^ 2) #
jadi. # (qr-p ^ 2) ^ 2 / (pr-q ^ 2) ^ 2 = (pq-r ^ 2) / (pr-q ^ 2) #
atau # (qr-p ^ 2) ^ 2 = (pq-r ^ 2) (pr-q ^ 2) #
atau # q ^ 2r ^ 2 + p ^ 4-2p ^ 2qr = p ^ 2qr-pq ^ 3-pr ^ 3 + q ^ 2r ^ 2 #
atau # p ^ 4 + pq ^ 3 + pr ^ 3-3p ^ 2qr = 0 # dan membahagikan dengan # p #
atau # p ^ 3 + q ^ 3 + r ^ 3-3pqr = 0 #
jadi. # (p + q + r) (p ^ 2 + q ^ 2 + r ^ 2-pq-qr-rp) = 0 #
Oleh itu sama ada # p + q + r = 0 # atau # p ^ 2 + q ^ 2 + r ^ 2-pq-qr-rp = 0 #
Perhatikan bahawa sebagai # alpha ^ 2 / (pq-r ^ 2) = alpha / (qr-p ^ 2) = 1 / (pr-q ^ 2) #
# alpha ^ 2 / (pq-r ^ 2) = alpha / (qr-p ^ 2) = 1 / (pr-q ^ 2) = (alpha ^ 2 + alpha + 2 + r ^ 2-pq-qr-rp) #
dan jika # p ^ 2 + q ^ 2 + r ^ 2-pq-qr-rp = 0 #, kita ada # alpha ^ 2 + alpha + 1 = 0 # jadi. # p = q = r #
