Bagaimana anda mempermudah root3 (1)?

Jawapan:

#1# atau #1^(1/3)# =#1#

Penjelasan:

Akar cubed 1 adalah sama dengan menaikkan 1 kepada kuasa #1/3#. 1 hingga kuasa apa pun masih 1.

Jawapan:

Bekerja dalam reals yang kita dapat #root 3 {1} = 1 #.

Setiap nombor kompleks yang tidak sifar mempunyai tiga akar kiub, jadi di sana

#root 3 {1} = 1 atau -1/2 pm i sqrt {3} / 2 #

Penjelasan:

Sekiranya kita bekerja dalam nombor nyata, kita hanya perhatikan #root 3 {1} = root 3 {1 ^ 3} = 1 #. Saya akan menganggap ini adalah mengenai nombor kompleks.

Salah satu perkara yang aneh yang kita ketahui ketika kita menyelidiki bilangan yang rumit ialah fungsi itu #f (z) = e ^ {z} # adalah berkala. Pertumbuhan eksponen adalah semacam bertentangan dengan berkala, jadi ini adalah kejutan.

Fakta utama ialah Identiti Euler yang dikehendaki. Saya memanggilnya Identiti Benar Euler.

# e ^ {2 pi i} = 1 #

Menunjukkan Identiti Benar Euler # e ^ z # adalah berkala dengan tempoh # 2pi i #:

#f (z + 2pi i) = e ^ {z + 2 pi i} = e ^ z e ^ {2 pi i} = e ^ z = f (z) #

Kita boleh meningkatkan Identiti Benar Euler ke mana-mana kuasa integer # k #:

# e ^ {2 pi k i} = 1 #

Apa yang berlaku dengan akar kubus itu? Ia adalah kunci. Ia menceritakan terdapat banyak cara untuk menulis satu nombor tak terhingga. Sebahagian daripada mereka mempunyai akar kiub yang berbeza daripada yang lain. Itulah mengapa eksponen bukan integer menimbulkan pelbagai nilai.

Itulah semua yang besar. Biasanya saya mulakan ini dengan menulis:

# e ^ {2pi k i} = 1 quad # untuk integer # k #

#root 1 = 1 ^ {1/3} = (e ^ {2 pi ki}) ^ {1/3} = e ^ {i {2pi k} / 3} = cos (2pi k / 3) + i sin (2pi k / 3) #

Langkah terakhir tentu saja Formula Euler # e ^ {i theta} = cos theta + i sin theta. #

Oleh kerana kita ada # 2pi # periodicity of the trig functions (yang berikut dari periodicity of the exponential dan Euler's Formula) kita hanya mempunyai nilai unik untuk tiga berturut-turut # k #s. Mari kita menilai ini # k = 0,1, -1 #:

# k #=0# quad quad cos ({2pi k} / 3) + i sin ({2pi k} / 3) = cos 0 + i sin 0 = 1 #

# k #=1# quad quad cos ({2pi} / 3) + i sin ({2pi} / 3) = -1 / 2 + i sqrt {3} / 2 #

# k #=-1# quad quad cos (- {2pi} / 3) + i sin (- {2pi} / 3) = -1 / 2 - i sqrt {3} / 2 #

Jadi kita mendapat tiga nilai untuk akar kubus satu:

#root 3 {1} = 1 atau -1/2 pm i sqrt {3} / 2 #