Apakah punca kuasa persegi 89?

Jawapan:

Aksara kuadrat #89# adalah nombor yang diberikan apabila diberi kuasa #89#.

#sqrt (89) ~~ 9.434 #

Penjelasan:

Sejak #89# adalah perdana, #sqrt (89) # tidak dapat dipermudahkan.

Anda boleh menghitung menggunakan kaedah Newton Raphson.

Saya suka merumuskannya sedikit seperti berikut:

Biarkan #n = 89 # menjadi nombor yang anda mahu akar kuadrat.

Pilih # p_0 = 19 #, # q_0 = 2 # supaya itu # p_0 / q_0 # adalah perkiraan rasional yang munasabah. Saya memilih nilai-nilai tertentu sejak itu #89# adalah kira-kira separuh antara #9^2 = 81# dan #10^2 = 100#.

Jatuh menggunakan rumus:

#p_ (i + 1) = p_i ^ 2 + n q_i ^ 2 #

#q_ (i + 1) = 2 p_i q_i #

Ini akan memberikan pengiraan rasional yang lebih baik.

Jadi:

# p_1 = p_0 ^ 2 + n q_0 ^ 2 = 19 ^ 2 + 89 * 2 ^ 2 = 361 + 356 = 717 #

# q_1 = 2 p_0 q_0 = 2 * 19 * 2 = 76 #

Jadi jika kita berhenti di sini, kita akan mendapat perkiraan:

#sqrt (89) ~~ 717/76 ~~ 9.434 #

Mari kita pergi satu langkah lagi:

# p_2 = p_1 ^ 2 + n q_1 ^ 2 = 717 ^ 2 + 89 * 76 ^ 2 = 514089 + 514064 = 1028153 #

# q_2 = 2 p_1 q_1 = 2 * 717 * 76 = 108984 #

Jadi kita mendapat perkiraan:

#sqrt (89) ~~ 1028153/108984 ~~ 9.43398113 #

Kaedah Newton Raphson ini bersatu dengan cepat.

#color (white) () #

Sebenarnya, anggaran sederhana yang agak baik untuk #sqrt (89) # adalah #500/53#, sejak #500^2 = 250000# dan #89 * 53^2 = 250001#

#sqrt (89) ~~ 500/53 ~~ 9.43396 #

Sekiranya kita memohon satu langkah lelaran kepada ini, kita akan mendapat penghampiran yang lebih baik:

#sqrt (89) ~~ 500001/53000 ~~ 9.4339811321 #

#color (white) () #

Nota kaki

Semua akar persegi bulat positif telah mengulangi pengembangan pecahan yang berterusan, yang anda juga boleh gunakan untuk memberikan anggaran rasional.

Walau bagaimanapun, dalam kes #sqrt (89) # pengembangan pecahan berterusan adalah sedikit kemas sehingga tidak begitu baik untuk bekerja dengan:

#sqrt (89) = 9; (2 + 1 / (3 + 1 / (3 + 1 / + …))))))) #

Penghampiran #500/53# di atas adalah #9; 2, 3, 3, 2#