Apakah int (sin x) / (cos ^ 2x + 1) dx?

Jawapan:

#int (sin (x)) / (cos ^ 2 (x) +1) dx = -arctan (cos (x)) + C #

Penjelasan:

Kami akan memperkenalkan penggantian u dengan # u = cos (x) #. Derivatif # u # akan menjadi # -sin (x) #, jadi kami membahagi dengan itu untuk mengintegrasikan berkenaan dengan # u #:

#int (sin (x)) / (cos ^ 2 (x) +1) dx = int cancel (sin (x)) / (1 + u ^ 2) * 1 /))) dx = -int 1 / (1 + u ^ 2) du #

Ini adalah arctan biasa yang penting, yang bermaksud hasilnya ialah:

# -int 1 / (1 + u ^ 2) du = -arctan (u) + C #

Kita boleh resubstitute # u = cos (x) # untuk mendapatkan jawapan dari segi # x #:

# -arctan (cos (x)) + C #

Apakah integral int sin (x) ^ 3 * cos (x) dx?

= (sin ^ 4 (x)) / (4) + C int_ sin ^ 3 (x) * cos (x) dx Kita boleh menggunakan penggantian untuk membuang cos (x). Jadi, mari kita gunakan dosa (x) sebagai sumber kami. u = sin (x) Yang kemudian bermakna bahawa kita akan mendapatkan, (du) / (dx) = cos (x) Mencari dx akan memberi, dx = 1 / cos (x) * du Sekarang menggantikan integral asal dengan penggantian, kita boleh membatalkan cos (x) di sini, int_u ^ 3 du = 1 / (3 + 1) u ^ (3 + 1) + C = 1/4 u ^ 4 + C Sekarang menetapkan untuk, = sin (x) ^ 4/4 + C = sin ^ 4 (x) / 4 + C

Sin ^ 2 (45 ^ @) + sin ^ 2 (30 ^ @) + sin ^ 2 (60 ^ @) + sin ^ 2 (90 ^ @) = (- 5) / (4)?

Sila lihat di bawah. (1 / sqrt (2)) ^ 2+ (1/2) ^ 2 + (sqrt (3) / 2) ^ 2 + (1) ^ 2 = 1/2 + 1/4 + 3/4 + 1 = 1/2 + 2 = 5/2

Apakah integral int sin ^ 3 (x) cos ^ 3 (x) dx?

Int sin ^ 3 x cos ^ 3 x d x = 1 / 4sin ^ 4 x-1 / 5sin ^ 5 x + C int sin ^ 3 x cos ^ 3 x d x =? "" sin x = u "" cos xdx = du int sin ^ 3 x * cos ^ 2 x * cos x * dx "" cos ^ 2 x = 1-sin ^ 2 x int u ^ "du" "int u ^ 3 (1-u ^ 2) du" "int (u ^ 3-u ^ 5) du int sin ^ 3 x cos ^ 3 xdx = 1 / 4u ^ 4-1 / 5u ^ + C int sin ^ 3 x cos ^ 3 xdx = 1 / 4sin ^ 4 x-1 / 5sin ^ 5 x + C