Dua satelit P_ "1" dan P_ "2" berputar di orbit radius R dan 4R. Nisbah halaju sudut maksimum dan minimum garisan yang menyertai P_ "1" dan P_ "2" adalah ??

Jawapan:

#-9/5#

Penjelasan:

Menurut undang-undang ketiga Kepler, # T ^ 2 propto R ^ 3 menyiratkan omega propto R ^ {- 3/2} #, jika halaju sudut satelit luar ialah # omega #, yang ada di dalamnya #omega times (1/4) ^ {- 3/2} = 8 omega #.

Mari kita pertimbangkan # t = 0 # untuk menjadi segera apabila kedua-dua satelit itu bersifat collinear dengan planet ibu, dan marilah kita mengambil garis yang sama seperti # X # paksi. Kemudian, koordinat dua planet pada masa itu # t # adalah # (R cos (8omega t), R sin (8omega t)) # dan # (4R cos (omega t), 4R sin (omega t)) #, masing-masing.

Biarkan # theta # menjadi sudut garisan yang menyertai kedua-dua satelit membuat dengan # X # paksi. Ia mudah untuk melihatnya

#tan theta = (4R sin (omega t) -Rsin (8 omega t)) / (4R cos (omega t) -Rcos (8 omega t)) = (4 sin (omega t)) / (4 cos (omega t) -cos (8 omega t)) #

Hasil pembezaan

# sec ^ 2 theta (d theta) / dt = d / dt (4 sin (omega t) -sin (8 omega t)) / (4 cos (omega t) -cos (8 omega t)

# = (4 cos (omega t) -cos (8 omega t)) - 2 kali #

#qquad (4 cos (omega t) -cos (8 omega t)) (4 omega cos (omega t) -8omega cos (8 omega t)) - #

#qquad (4 sin (omega t) --in (8 omega t)) (- 4omega sin (omega t) +8 omega sin (8 omega t)) #

Oleh itu

(4 omega t) -cos (8 omega t)) ^ 2 1 + ((4 sin (omega t) -sin (8 omega t)) / (4 cos (omega t) t))) ^ 2 (d theta) / dt #

# = 4 omega (4 cos ^ 2 (omega t) -9 cos (omega t) cos (8 omega t) + 2 cos ^ 2 (omega t)

#qquad qquad + (4 sin ^ 2 (omega t) -9 sin (omega t) cos (8 omega t) + 2sin ^ 2 (omega t)) #

# = 4 omega 6-9cos (7 omega t) menyiratkan #

# (17 -8 cos (7 omega t)) (d theta) / dt = 12 omega (2 - 3 cos (7 omega t)) menyiratkan #

# (d theta) / dt = 12 omega (2 - 3 cos (7 omega t)) / (17 -8 cos (7 omega t)) equiv 12 omega f (cos (7 omega t)

Di mana fungsi itu

#f (x) = (2-3x) / (17-8x) = 3/8 - 35/8 1 / (17-8x) #

mempunyai derivatif

# f ^ '(x) = -35 / (17-8x) ^ 2 <0 #

dan oleh itu turun secara monotonikal dalam selang #-1,1#.

Oleh itu, halaju sudut # (d theta) / dt # adalah maksimum apabila #cos (7 omega t) # adalah minimum, dan sebaliknya.

Jadi, # ((d theta) / dt) _ "max" = 12 omega (2 - 3 kali (-1)) / (17-8 kali (-1)

#qquad qquad qquad qquad = 12 omega times 5/25 = 12/5 omega #

# ((d theta) / dt) _ "min" = 12 omega (2 - 3 kali 1) / (17-8 kali 1) #

#qquad qquad qquad qquad = 12 omega times (-1) / 9 = -4/3 omega #

dan sebagainya nisbah antara keduanya adalah:

# 12/5 omega: -4/3 omega = -9: 5 #

Catatan Hakikat bahawa # (d theta) / dt # Tanda perubahan adalah penyebab gerakan gerakan retrograde yang jelas