Jawapan:
Rujuk penjelasan
Penjelasan:
Ia mudah untuk melihatnya
# x ^ 4-18x ^ 2 + 81 = (x ^ 2) ^ 2-2 * 9 * x ^ 2 + 9 ^ 2 = 0 => (x ^ 2-9) ^ 2 = 0 #
Oleh itu, kita ada # (x ^ 2-9) ^ 2 = 0 => x ^ 2-9 = 0 => x = 3 atau x = -3 #
Berhati-hatilah bahawa akar # x_1 = 3, x_2 = -3 # mempunyai kepelbagaian #2#
kerana kita mempunyai polinomial darjah keempat.
Jawapan:
#x = + -3 #
Penjelasan:
Biasanya, untuk menyelesaikan polinomial ijazah 4 seperti yang ada di sini, anda perlu melakukan pembahagian sintetik dan menggunakan banyak teorem dan peraturan - ia menjadi agak kemas. Walau bagaimanapun, ini adalah istimewa kerana kita sebenarnya boleh menjadikannya persamaan kuadratik.
Kami melakukan ini dengan membiarkan #u = x ^ 2 #. Jangan bimbang tentang di mana # u # datang dari; ia hanya sesuatu yang kami gunakan untuk memudahkan masalah ini. Dengan #u = x ^ 2 #, masalah itu menjadi
# u ^ 2-18u + 81 = 0 #.
Bukankah itu kelihatan lebih baik? Sekarang kita berurusan dengan persamaan kuadratik yang bagus dan mudah. Malah, ini adalah dataran yang sempurna; dalam erti kata lain, apabila anda faktor, anda dapat # (u-9) ^ 2 #. Sudah tentu, kita boleh menggunakan formula kuadratik atau melengkapkan persegi untuk menyelesaikan persamaan ini, tetapi anda biasanya tidak cukup bernasib baik untuk mempunyai kuadrat persegi sempurna - jadi ambil kesempatan. Pada ketika ini, kami mempunyai:
# (u-9) ^ 2 = 0 #
Untuk menyelesaikannya, kami mengambil akar dua segi dua:
#sqrt ((u-9) ^ 2) = sqrt (0) #
Dan ini memudahkan untuk
# u-9 = 0 #
Akhirnya, kami menambah 9 kepada kedua-dua pihak untuk mendapatkannya
#u = 9 #
Awesome! Hampir sampai. Walau bagaimanapun, masalah asal kami ada # x #s di dalamnya dan jawapan kami ada # u # di dalamnya. Kita perlu menukar #u = 9 # ke dalam #x = # sesuatu. Tetapi jangan takut! Ingat pada mulanya kami katakan #u = x ^ 2 #? Nah sekarang kita ada # u #, kami hanya memasukkannya semula untuk mencari kami # x #. Jadi, #u = x ^ 2 #
# 9 = x ^ 2 #
#sqrt (9) = x #
#x = + -3 # (kerana #(-3)^2 = 9# dan #(3)^2 = 9#)
Oleh itu, penyelesaian kami adalah #x = 3 # dan #x = -3 #. Perhatikan bahawa #x = 3 # dan #x = -3 # adalah akar berganda, jadi secara teknis, semua akar adalah #x = 3 #, #x = 3 #, #x = -3 #, #x = -3 #.
