Y = f (x) diberikan.Grafik, y = f (3x) -2 dan y = -f (x-1)?

Jawapan:

Tidak mempunyai kertas graf berguna - jadi saya berharap penerangan itu membantu!

Penjelasan:

Untuk # y = f (3x) -2 # pertama memerah graf yang diberikan sepanjang # x # paksi dengan faktor 3 (sehingga minimum tangan kiri, katakan, berlaku pada # x = -2 / 3 #), dan kemudian menolak keseluruhan graf turun oleh 2 unit. Oleh itu, graf baru akan mempunyai minimum pada #x = -2 / 3 # dengan nilai # y = -2 #, maksimum pada #(0,0)# dan satu lagi pada #(4/3, -4)#

Untuk # y = -f (x-1) # pertama beralih graf 1 unit ke betul, kemudian flipnya terbalik! Jadi, graf baru akan menjadi dua maksima pada #(-1,0)# dan #(5,2)# dan minimum pada #(1,-2) #

Jawapan:

Inilah penjelasan yang lebih terperinci

Penjelasan:

Masalahnya adalah kes-kes khas masalah yang lebih umum:

Memandangkan graf untuk # y = f (x) #, apakah grafiknya #y = a f (b x + c) + d # ?

(yang pertama adalah untuk # a = 1, b = 3, c = 0, d = -2 #, sementara yang kedua adalah untuk # a = -1, b = 1, c = -1, d = 0 #)

Saya akan cuba menerangkan jawapan dalam langkah-langkah, dengan menangani masalah satu langkah pada satu masa. Ia akan menjadi jawapan yang panjang - tetapi diharapkan prinsip umum akan menjadi jelas pada akhirnya.

Untuk ilustrasi saya akan menggunakan lengkung tertentu yang saya tunjukkan di bawah, tetapi idea itu akan berfungsi secara umum.

(Jika sesiapa berminat, fungsi yang sedang diramalkan di sini adalah #f (x) = exp (- {(x-1) ^ 2} / 2) #

1) Memandangkan graf untuk # y = f (x) #, apakah grafiknya #y = f (x) + d # ?

Yang satu ini mudah - yang perlu anda lakukan ialah ambil perhatian bahawa jika # (x, y) # adalah titik pada graf pertama, kemudian # (x, y + d) # adalah titik pada yang kedua. Ini bermakna graf kedua lebih tinggi daripada yang pertama dengan jarak yang jauh # d # (sudah tentu jika # d # adalah negatif, ia lebih rendah daripada graf pertama oleh # | d | #).

Oleh itu, graf # y = f (x) + 1 # akan jadi

Seperti yang anda dapat lihat, graf untuk #y = f (x) + 1 # (garisan ungu padat) diperoleh dengan hanya menolak graf untuk # y = f (x) # (garisan putus-putus kelabu) up oleh satu unit.

Grafik untuk # y = f (x) -1 # boleh didapati dengan menolak graf asal turun oleh satu unit:

2) Memandangkan graf untuk # y = f (x) #, apakah grafiknya #y = f (x + c) # ?

Adalah mudah untuk melihat bahawa jika # (x, y) # adalah titik pada # y = f (x) # graf, kemudian # (x-c, y) # akan menjadi titik pada #y = f (x + c) # graf. Ini bermakna anda boleh mendapat graf #y = f (x + c) # daripada graf #y = f (x) # hanya dengan memindahkannya ke ditinggalkan oleh # c # (sudah tentu jika # c # adalah negatif, anda mesti mengalihkan graf asal oleh # | c | # ke kanan.

Sebagai contoh, graf untuk # y = f (x + 1) # boleh didapati dengan menolak graf asal kepada ditinggalkan oleh satu unit:

sementara itu untuk # y = f (x-1) # melibatkan menolak graf asal kepada betul oleh satu unit:

3) Memandangkan graf untuk # y = f (x) #, apakah grafiknya #y = f (bx) # ?

Sejak #f (x) = f (b kali x / b) # ia mengikuti bahawa jika # (x, y) # adalah titik pada #y = f (x) # graf, kemudian # (x / b, y) # adalah titik pada # y = f (bx) # graf.

Ini bermakna graf asal mestilah diperah oleh faktor # b # sepanjang # x # paksi. Sudah tentu, meremas oleh # b # betul-betul a meregangkan oleh # 1 / b # untuk kes di mana # 0 <b <1 #

Grafik untuk # y = f (2x) # adalah

Perhatikan bahawa sementara ketinggian tetap sama pada 1, lebarnya berkurang dengan faktor 2. Secara khususnya, puncak lengkung asal telah beralih dari # x = 1 # kepada # x = 1/2 #.

Sebaliknya, graf untuk # y = f (x / 2) # adalah

Perhatikan bahawa graf ini dua kali lebih luas (meresap oleh #1/2# sama seperti peregangan dengan faktor 2), dan puncak juga berpindah dari # x = 1 # kepada # x = 2 #.

Sebutan khas mesti dibuat dari kes di mana # b # adalah negatif. Lebih baik mungkin untuk memikirkannya sebagai proses dua langkah

• Pertama tentukan graf # y = f (-x) #, dan kemudian
• memerah graf yang dihasilkan oleh # | b | #

Perhatikan bahawa untuk setiap titik # (x, y) # graf asal, titik # (- x, y) # adalah titik pada graf # y = f (-x) # - jadi graf baru boleh didapati dengan mencerminkan yang lama tentang # Y # paksi.

Sebagai ilustrasi proses dua langkah, pertimbangkan graf # y = f (-2x) # ditunjukkan di bawah:

Di sini lengkung asal, itu untuk # y = f (x) # pertama kali dibalikkan # Y # paksi untuk mendapatkan lengkung untuk # y = f (-x) # (garis sian nipis). Ini kemudian diperah oleh faktor #2# untuk mendapatkan lengkung untuk # y = f (-2x) # - keluk ungu tebal.

4) Memandangkan graf untuk # y = f (x) #, apakah grafiknya #y = af (x) # ?

Coraknya adalah sama di sini - jika # (x, y) # adalah titik pada lengkung asal kemudian # (x, ay) # adalah titik pada graf # y = af (x) #

Ini bermakna bahawa positif # a #, graf itu diregangkan oleh faktor # a # sepanjang # Y # paksi. Sekali lagi, nilai # a # antara 0 dan 1 bermakna bahawa bukannya diregangkan, lengkungnya sebenarnya akan diperah oleh faktor # 1 / a # sepanjang # Y # paksi.

Lengkung di bawah adalah untuk # y = 2f (x) #

Perhatikan bahawa sementara puncaknya adalah pada nilai yang sama # x # - ketinggiannya telah meningkat dua kali dari 2 dari 1. Sudah tentu ia bukan hanya puncak yang telah diregangkan - yang # y # koordinat setiap titik lengkung asal telah meningkat dua kali ganda untuk mendapatkan lengkung baru.

Angka di bawah menggambarkan perit yang berlaku ketika #0<>

Sekali lagi, kes itu #a <0 # mengambil perhatian khusus - dan lebih baik jika anda melakukan ini dalam dua langkah

1. Pertama buka kurva terbalik tentang # X # paksi untuk mendapatkan lengkung untuk # y = -f (x) #
2. Regangkan lengkung oleh # | a | # sepanjang # Y # paksi.

Keluk untuk # y = -f (x) # adalah

manakala gambar di bawah menggambarkan dua langkah yang terlibat dalam melukis lengkung untuk #y = -2f (x) #

Meletakkannya bersama-sama

Sekarang bahawa kita telah melalui langkah-langkah individu, mari kita meletakkan mereka semua bersama-sama! Prosedur untuk melukis lengkung untuk

# y = a f (bx + c) + d #

bermula dari # y = f (x) # pada dasarnya terdiri daripada langkah-langkah berikut

1. Lakarkan lengkung # y = f (x + c) #: beralih graf dengan jarak # c # ke kiri
2. Kemudian plot itu #y = f (bx + c) #: memerah lengkung yang anda dapat dari langkah 1 di # X # arah dengan faktor tersebut # | b | #, (pertama membalikkannya tentang # Y # paksi jika #b <0 #)
3. Kemudian plot graf # y = af (bx + c) #: skala lengkung yang anda dapat dari langkah 2 hingga satu faktor # a # dalam arah menegak.
4. Akhirnya tolak lengkung yang anda peroleh dalam langkah 3 dengan jarak jauh # d # untuk mendapatkan hasil akhir.

Sudah tentu anda perlu menjalankan semua empat langkah hanya dalam kes yang melampau - selalunya bilangan langkah yang lebih kecil akan dilakukan! Juga, urutan langkah adalah penting.

Sekiranya anda tertanya-tanya, langkah-langkah ini mengikuti dari fakta bahawa jika # (x, y) # adalah titik pada # y = f (x) # graf, maka titik itu

# ({x-c} / b, ay + d) # diatas # y = af (bx + c) + d # graf.

Izinkan saya menggambarkan proses itu dengan contoh dengan fungsi kami #f (x) #. Marilah kita cuba untuk membina graf untuk #y = -2f (2x + 3) + 1 #

Pertama - peralihan ke kiri oleh 3 unit

Kemudian: memerah dengan faktor 2 di sepanjang # X # paksi

Kemudian, membalikkan graf ke atas tentang # X # paksi dan kemudian skala oleh faktor 2 bersama # Y #

Akhirnya, mengalihkan lengkung sehingga 1 unit - dan kami selesai!