Kord dengan panjang 12 berjalan dari pi / 12 hingga pi / 6 radian pada bulatan. Apakah kawasan bulatan?

Jawapan:

Kawasan bulatan adalah

#S = (36pi) / sin ^ 2 (pi / 24) = (72pi) / (1-sqrt ((2 + sqrt (3)) / 4)

Penjelasan:

Gambar di atas mencerminkan keadaan yang ditetapkan dalam masalah. Semua sudut (diperbesarkan untuk pemahaman yang lebih baik) adalah dalam radian yang mengira dari paksi X mendatar # OX # lawan jam.

# AB = 12 #

# / _ XOA = pi / 12 #

# / _ XOB = pi / 6 #

# OA = OB = r #

Kita perlu mencari jejari bulatan untuk menentukan kawasannya.

Kita tahu bahawa akord # AB # mempunyai panjang #12# dan sudut antara radius # OA # dan # OB # (di mana # O # adalah pusat bulatan)

#alpha = / _ AOB = pi / 6 - pi / 12 = pi / 12 #

Membina ketinggian # OH # segitiga #Delta AOB # dari puncak # O # ke sisi # AB #. Sejak #Delta AOB # adalah isosceles, # OH # adalah median dan bisektor sudut:

# AH = HB = (AB) / 2 = 6 #

# / _ AOH = / _ BOH = (/ _ AOB) / 2 = pi / 24 #

Pertimbangkan segitiga yang betul #Delta AOH #.

Kita tahu bahawa cathetus # AH = 6 # dan sudut # / _ AOH = pi / 24 #.

Oleh itu, hypotenuse # OA #, yang merupakan jejari bulatan kami # r #, sama dengan

# r = OA = (AH) / dosa (/ _ AOH) = 6 / sin (pi / 24) #

Mengetahui jejari, kita boleh mencari kawasan:

#S = pi * r ^ 2 = (36pi) / sin ^ 2 (pi / 24) #

Mari kita nyatakan ini tanpa fungsi trigonometri.

Sejak

# sin ^ 2 (phi) = (1-cos (2phi)) / 2 #

kita boleh menyatakan kawasan tersebut seperti berikut:

#S = (72pi) / (1-cos (pi / 12)) #

Identiti trigonometri yang lain:

# cos ^ 2 (phi) = (1 + cos (2phi)) / 2 #

#cos (phi) = sqrt (1 + cos (2phi)) / 2 #

Oleh itu,

#cos (pi / 12) = sqrt (1 + cos (pi / 6)) / 2 = #

# = sqrt (1 + sqrt (3) / 2) / 2 = sqrt ((2 + sqrt (3)) / 4) #

Sekarang kita boleh mewakili kawasan bulatan sebagai

#S = (72pi) / (1-sqrt ((2 + sqrt (3)) / 4)) #

Jawapan:

Satu lagi pendekatan yang sama hasilnya

Penjelasan:

Kord AB panjang 12 dalam angka di atas berjalan dari# pi / 12 # kepada # pi / 6 # dalam lingkaran jejari r dan pusat O, diambil sebagai asal.

# / _ AOX = pi / 12 # dan # / _ BOX = pi / 6 #

Koordinat polar A # = (r, pi / 12) # dan yang dari B # = (r, pi / 6) #

Memohon formula jarak untuk koordinat kutub

panjang kord AB,# 12 = sqrt (r ^ 2 + r ^ 2-2 * r ^ 2 * cos (/ _ BOX - / _ AOX) #

# => 12 ^ 2 = r ^ 2 + r ^ 2-2 * r ^ 2 * cos (pi / 6-pi / 12) #

# => 144 = 2r ^ 2 (1-cos (pi / 12)) #

# => r ^ 2 = 144 / (2 (1-cos (pi / 12)) #

# => r ^ 2 = cancel144 ^ 72 / (cancel2 (1-cos (pi / 12)) #

# => r ^ 2 = 72 / (1-cos (pi / 12)) #

# => r ^ 2 = 72 / (1-sqrt (1/2 (1 + cos (2 * pi / 12)) #

# => r ^ 2 = 72 / (1-sqrt (1/2 (1 + cos (pi / 6)) #

# => r ^ 2 = 72 / (1-sqrt (1/2 (1 + sqrt3 / 2) #

Jadi kawasan bulatan

# = pi * r ^ 2 #

# = (72pi) / (1-sqrt (1/2 (1 + sqrt3 / 2) #

# = (72pi) / (1-sqrt ((2 + sqrt3) / 4) #