Apakah akar kuadrat 5?

Aksara kuadrat #5# tidak boleh dipermudahkan bapa daripada sudah, jadi inilah # sqrt5 # ke sepuluh tempat perpuluhan:

# sqrt5 ~~ 2.2360679775 … #

Jawapan:

#sqrt (5) = 2 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + …))))) ~~ 2889/1292 ~ adalah nombor tidak rasional.

Penjelasan:

Semua nombor positif biasanya mempunyai dua akar persegi, yang positif dan negatif dengan saiz yang sama. Kami menandakan akar utama (a.k.a. principal) dari # n # oleh #sqrt (n) #.

Satu punca kuasa dua nombor # n # adalah nombor # x # seperti itu # x ^ 2 = n #. Jadi kalau # x ^ 2 = n # kemudian juga # (- x) ^ 2 = n #.

Walau bagaimanapun, penggunaan popular ialah "akar kuadrat" merujuk kepada yang positif.

Katakan kami mempunyai nombor positif # x # yang memuaskan:

#x = 2 + 1 / (2 + x) #

Kemudian mengalikan kedua belah pihak dengan # (2 + x) # kita mendapatkan:

# x ^ 2 + 2x = 2x + 5 #

Kemudian tolak # 2x # dari kedua belah pihak kita dapat:

# x ^ 2 = 5 #

Oleh itu, kami telah menemui:

#sqrt (5) = 2 + 1 / (2 + sqrt (5)) #

#color (putih) (sqrt (5)) = 2 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + …)

Sambungkan pecahan berterusan ini tidak ditamatkan, kita dapat memberitahu itu #sqrt (5) # tidak boleh diwakili sebagai fraksi penamatan - iaitu nombor rasional. Jadi #sqrt (5) # adalah nombor yang tidak rasional sedikit lebih kecil daripada #2 1/4 = 9/4#. Untuk perkiraan rasional yang lebih baik, anda boleh menamatkan pecahan berterusan selepas lebih banyak istilah.

Sebagai contoh:

#sqrt (5) ~~ 2 + 1 / (4 + 1/4) = 2 + 4/17 = 38/17 ~~ 2.235 #

Mengeluarkan pekali berterusan ini boleh menjadi sedikit membosankan, oleh itu saya lebih suka menggunakan kaedah yang berbeza, iaitu nisbah had bagi urutan integer yang ditakrifkan secara rekursif.

Tentukan turutan dengan:

# {(a_0 = 0), (a_1 = 1), (a_ (n + 2) = 4a_ (n + 1) + a_n):} #

Beberapa istilah pertama ialah:

#0, 1, 4, 17, 72, 305, 1292, 5473#

Nisbah antara syarat akan cenderung # 2 + sqrt (5) #.

Jadi kita dapati:

#sqrt (5) ~~ 5473/1292 - 2 = 2889/1292 ~~ 2.236068 #