Adakah terdapat sebarang titik (x, y) pada lengkung y = x ^ (x (1 + 1 / y)), x> 0, di mana tangen selari dengan paksi-x?

Jawapan:

Tiada titik seperti itu, sejauh mana matematik saya pergi.

Penjelasan:

Pertama, mari kita pertimbangkan keadaan tangen jika selari dengan # x #-axis. Sejak itu # x #-axis adalah mendatar, mana-mana garis selari dengannya juga mesti mendatar; jadi ia mengikuti bahawa garis tangen adalah mendatar. Dan, tentu saja, tangen mendatar berlaku apabila derivatif sama dengan #0#.

Oleh itu, kita harus terlebih dahulu memulakan dengan mencari derivatif persamaan yang besar, yang dapat dicapai melalui pembezaan tersirat:

# y = x ^ (x + x / y) #

# -> lny = (x + x / y) lnx #

Menggunakan peraturan jumlah, peraturan rantai, peraturan produk, peraturan berbunga, dan algebra, kami mempunyai:

# d / dx (lny) = d / dx ((x + x / y) lnx) #

# -> dy / dx * 1 / y = (x + x / y) '(lnx) + (x + x / y) (lnx)' #

# -> dy / dx * 1 / y = (x + x / y) '(lnx) + (x + x / y) (lnx)' #

# -> dy / dx * 1 / y = (1+ (x'y-xdy / dx) / y ^ 2) (lnx) + (x + x / y) (1 / x)

# -> dy / dx * 1 / y = lnx + lnx ((y-xdy / dx) / y ^ 2) + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx * 1 / y = lnx + lnx (1 / y- (xdy / dx) / y ^ 2) + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx * 1 / y = lnx + (lnx) / y- (xlnxdy / dx) / y ^ 2 + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx * 1 / y + (xlnxdy / dx) / y ^ 2 = lnx + (lnx) / y + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx (1 / y + (xlnx) / y ^ 2) = lnx + (lnx) / y + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx ((y + xlnx) / y ^ 2) = lnx + (lnx) / y + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx ((y + xlnx) / y ^ 2) = (ylnx + lnx + 1 + y) / y #

# -> dy / dx = ((ylnx + lnx + 1 + y) / y) / ((y + xlnx) / y ^ 2) #

# -> dy / dx = (y (ylnx + lnx + 1 + y)) / (y + xlnx) #

Wow … itu sengit. Kini kita menetapkan derivatif sama dengan #0# dan lihat apa yang berlaku.

# 0 = (y (ylnx + lnx + 1 + y)) / (y + xlnx) #

# 0 = ylnx + lnx + 1 + y #

# -ylnx-y = lnx + 1 #

# -y (lnx + 1) = lnx + 1 #

#y (lnx + 1) = - (lnx + 1) #

#y = (- (lnx + 1)) / (lnx + 1) #

# y = -1 #

Menarik. Sekarang mari kita pasangkan # y = -1 # dan lihat apa yang kita dapat # x #:

# y = x ^ (x (1 + 1 / y)) #

# -1 = x ^ (x (1 + 1 / -1)) #

# -1 = x ^ (x (1-1)) #

# -1 = x ^ 0 #

#-1=1#

Oleh kerana ini adalah percanggahan, kami menyimpulkan bahawa tidak ada mata yang memenuhi syarat ini.

Jawapan:

Tiada wujud tangen sedemikian.

Penjelasan:

#y = x ^ (x (1 + 1 / y)) equiv y ^ {y / (y + 1)} = x ^ x #. Sekarang panggil #f (x, y) = x ^ x-y ^ {y / (y + 1)} = u (x) + v (y) = 0 # kita ada

#df = f_x dx + f_y dy = (parsial u) / (parsial x) dx + (parsial v) / (parsial y) dy = 0 # kemudian

(x) x (1 + Log_e (x)) (1 + y) ^ 2) / (y ^ (y / (1 + y)) (1 + y + Log_e (y))) = ((1 + Log_e (x)) (1 + y) ^ 2) y)) #

Kita lihat itu # dy / (dx) = 0 -> {y_0 = -1, x_0 = e ^ {- 1}} # tetapi nilai tersebut mesti disahkan:

#f (x, y_0) = 0 # dan

#f (x_0, y) = 0 #

Dalam kes pertama, # y_0 = 1 # kita ada

# x ^ x = -1 # yang tidak dapat dicapai dalam domain sebenar.

Dalam kes kedua, # x_0 = e ^ {- 1} # kita ada

# y ^ {y / (y + 1)} = e ^ {- 1} # atau

# y / (y + 1) log_e y = -1 #

tetapi

# y / (y + 1) log_e y> -1 # jadi tiada penyelesaian yang sebenar juga.

Kesimpulannya, tidak ada tangen semacam itu.

Jawapan:

Jawapan daripada Dr, Cawa K, x = 1 / e, adalah tepat.

Penjelasan:

Saya telah mencadangkan soalan ini untuk mendapatkan nilai ini dengan tepat. Terima kasih kepada

Dr, Cawas untuk jawapan tegas yang meluluskan wahyu itu

ketepatan dua y 'kekal 0 di sekitar selang ini. y adalah

berterusan dan berbeza di x = 1 / e. Kerana kedua-dua 17-kali ganda

ketepatan y dan y 'adalah 0, dalam selang ini sekitar x = 1 / e, ia adalah a

dugaan bahawa paksi-x menyentuh graf di antara. Dan sekarang, ini

terbukti. Saya fikir sentuhan itu adalah transendental..