Apakah quaternions?

Jawapan:

Jenis nombor yang mana pendaraban tidak secara amnya commutative.

Penjelasan:

Nombor sebenar (# RR #) boleh diwakili oleh satu baris - ruang satu dimensi.

Nombor kompleks (# CC #) boleh diwakili oleh satah - ruang dua dimensi.

Quaternions (H) boleh diwakili oleh ruang empat dimensi.

Dalam nombor aritmetik biasa, memenuhi peraturan berikut:

Tambahan

Identiti: #EE 0: AA a: a + 0 = 0 + a = a #

Songsang: #AA a EE (-a): a + (-a) = (-a) + a = 0 #

Persamaan: #AA a, b, c: (a + b) + c = a + (b + c) #

Commutativity: #AA a, b: a + b = b + a #

Pendaraban

Identiti: #EE 1: AA a: a * 1 = 1 * a = a #

Songsang bukan-sifar: #AA a! = 0 EE 1 / a: a * 1 / a = 1 / a * a = 1 #

Persamaan: #AA a, b, c: (a * b) * c = a * (b * c) #

Commutativity: #color (merah) (AA a, b: a * b = b * a) #

Bersama-sama

Pengedaran: # {(a * (b + c) = (a * b) + (a * c)), (a + b) * c = (a * c) + (b * c)

#color (white) () #

Peraturan ini berfungsi untuk menetapkan nombor rasional # QQ #, set nombor Nyata # RR # dan nombor Kompleks # CC # dan menentukan apa yang dipanggil a bidang - satu set dilengkapi dengan operasi tambahan dan pendaraban yang memenuhi peraturan ini.

Quaternions (H) adalah apa yang dipanggil a bidang condong atau algebra bahagian penyatuan - set yang dilengkapi dengan operasi penambahan dan pendaraban yang memenuhi semua syarat ini kecuali commutativity of multiplication.

Menjadi juga a #4# ruang vektor dimensi ke atas Reals, mereka adalah algebra bahagian bersekutu terbesar ke atas Reals, satu-satunya yang lain # RR # dan # CC #.

Selain paksi Real, unit pada tiga paksi yang lain dipanggil # i #, # j # dan # k #. Mereka semua adalah akar persegi #-1#.

Tiga unit khayalan ini memenuhi syarat-syarat berikut:

#ij = k #

#jk = i #

#ki = j #

#ji = -k #

#kj = -i #

#ik = -j #

Quaternions boleh diwakili oleh # 2xx2 # matriks dengan nilai Kompleks atau oleh # 4xx4 # matriks dengan nilai-nilai Nyata.

Mereka mempunyai aplikasi dalam mekanik dan fizik teori.

#color (white) () #

Nota kaki

Perhatikan yang saya katakan bersekutu algebra bahagian. Beyond the Quaternions adalah Octonions yang tidak dikenali yang menjatuhkan keperluan yang perkalian menjadi bersekutu.