Tunjukkan bahawa persamaan x ^ 4 + 2x ^ 2 - 2 = 0 mempunyai satu penyelesaian pada [0, 1]?

Jawapan:

Lihat di bawah.

Penjelasan:

Pertama sekali, mari kita hitung #f (x) = x ^ 4 + 2x ^ 2-2 # di sempadan domain kami:

#f (0) = 0 ^ 4 + 2 * 0 ^ 2-2 = -2 <0 #

#f (1) = 1 ^ 4 + 2 * 1 ^ 2-2 = 1> 0 #

Jika kita mengira derivatif

#f '(x) = 4x ^ 3 + 4x = 4x (x ^ 2 + 1) #

Kita dapat melihat bahawa ia sentiasa positif #0,1#. Malah, # x ^ 2 + 1 # sentiasa positif, dan # 4x # adalah jelas positif, sejak # x # adalah positif.

Oleh itu, fungsi kami bermula di bawah # x # paksi, sejak #f (0) <0 #, dan berakhir di atas # x # paksi, sejak #f (1)> 0 #. Fungsi ini adalah polinomial, dan oleh itu ia berterusan.

Jika garis berterusan bermula di bawah paksi dan berakhir di atas, ia bermakna ia mesti menyeberang di mana-mana di antara. Dan hakikat bahawa derivatif selalu positif bermakna fungsi itu sentiasa berkembang, dan oleh itu ia tidak dapat menyeberang paksi dua kali, maka bukti itu.