Apakah int 16sin ^ 2 xcos ^ 2 x dx?

Jawapan:

# 2x - sin (4x) / 2 + k # dengan #k dalam RR #.

Penjelasan:

Kita perlu ingat beberapa formula. Di sini, kita perlukan # 2sin (theta) cos (theta) = sin (2theta) #. Kami boleh membuatnya mudah kerana kami berurusan dengan dataran #sin (x) # dan #cos (x) # dan kami mendarabkannya dengan nombor yang banyak.

(X) cos ^ 2 (x) = 4 (4cos ^ 2 (x) sin ^ 2 (x)) = 4 (2sin (x) cos (x)) ^ 2 #.

Jadi # int16sin ^ 2 (x) cos ^ 2 (x) dx = 4intsin ^ 2 (2x) dx #.

Dan kita tahu itu # sin ^ 2 (theta) = (1-cos (2theta)) / 2 # kerana #cos (2theta) = 1-2sin ^ 2 (theta) #, jadi # sin ^ 2 (2x) = (1 - cos (4x)) / 2 #.

Oleh itu keputusan akhir: (4x) / 2dx = 2x - 2intcos (4x) dx = 2x + c - 2sin (4x) / 4 + a # dengan # a, c dalam RR #. Katakan #k = a + c #, maka jawapan terakhirnya.

Apakah tiga derivatif pertama (xcos (x) -sin (x)) / (x ^ 2)?

Jawapannya ialah: y '' = (- x ^ 3cosx + 3x ^ 4sinx + 6xcosx-6sinx) / x ^ 4. Inilah sebabnya: y '= (((cosx + x * (- sinx) -cosx) x ^ 2 (xcosx-sinx) * 2x)) / x ^ 4 = = (- x ^ 3sinx-2x ^ 2cosx + 2xsinx) / x ^ 4 = = (- x ^ 2sinx-2xcosx + 2sinx) / x ^ 3 y '' = ((- 2xsinx-x ^ 2cosx-2cosx-2x (-sinx) + 2cosx) x ^ -x ^ 2sinx-2xcosx + 2sinx) * 3x ^ 2) / x ^ 6 = = ((x ^ 2cosx) x ^ 3 + 3x ^ 4sinx + 6x ^ 3cosx-6x ^ 2sinx) -x ^ 3cosx + 3x ^ 4sinx + 6xcosx-6sinx) / x ^ 4.

Apakah arka panjang f (x) = - xsinx + xcos (x-pi / 2) pada x dalam [0, (pi) / 4]?

Pi / 4 Panjang arka f (x), x dalam [ab] diberikan oleh: S_x = int_b ^ af (x) sqrt (1 + f '(x) ^ 2) dx f (x) = - xsinx + x (x-pi / 2) = - xsinx + xsinx = 0 f '(x) = 0 Oleh kerana kita hanya mempunyai y = 0 kita boleh mengambil panjang garis lurus s antara 0to pi / 0 = pi / 4

Apakah domain dan julat untuk y = xcos ^ -1 [x]?

Julat: [- pi, 0.56109634], hampir. Domain: {- 1, 1]. [arctan pi] dan [pi + arctan pi, 3 / 2pi] y '= arccos x - x / sqrt (1 - x ^ 2) 0, pada x = X = 0.65, hampir, dari graf. y '' <0, x> 0. Jadi, max y = X arccos X = 0.56, hampir Perhatikan bahawa terminal pada paksi-x ialah [0, 1]. Inversely, x = cos (y / x) di [-1, 1} Pada terminal bawah, dalam Q_3, x = - 1 dan min y = (- 1) arccos (- 1) = - pi. Grafik y = x arccos x # graf {yx arccos x = 0} Grafik untuk x membuat y '= 0: Grafik y' mendedahkan akar berhampiran 0.65: graf {y-arccos x + x / sqrt (1-x ^ ) = 0 [0 1 -0.1 0.1]} Grafik untuk 8-sd root =