Antara berikut yang manakah mempunyai bilangan maksimum akar sebenar?

Jawapan:

# x ^ 2-3 abs (x) +2 = 0 # dengan #4# akar sebenar.

Penjelasan:

Perhatikan bahawa akar:

# ax ^ 2 + b abs (x) + c = 0 #

adalah subset kesatuan akar dua persamaan:

# {(ax ^ 2 + bx + c = 0), (ax ^ 2-bx + c = 0):} #

Perhatikan bahawa jika salah satu daripada dua persamaan ini mempunyai sepasang akar sebenar maka begitu juga yang lain, kerana mereka mempunyai diskriminasi yang sama:

#Delta = b ^ 2-4ac = (-b) ^ 2-4ac #

Selanjutnya ambil perhatian bahawa jika #a, b, c # semua mempunyai tanda yang sama ketika itu # ax ^ 2 + b abs (x) + c # akan sentiasa mengambil nilai tanda ketika itu # x # adalah nyata. Jadi dalam contoh kita, sejak # a = 1 #, kita boleh segera perhatikan bahawa:

# x ^ 2 + 3 abs (x) +2> = 2 #

jadi tidak ada sifar.

Mari lihat pada tiga persamaan yang seterusnya:

1) # x ^ 2-abs (x) -2 = 0 #

{X (x + 1) => x in {-1, 2}), (0 = x ^ 2 + x-2 = (x +2) (x-1) => x dalam {-2, 1}):} #

Cuba setiap ini, kita mencari penyelesaian #x dalam {-2, 2} #

3) # x ^ 2-3 abs (x) +2 = 0 #

(X = 2-3) + 2 = (x-1) (x-2) => x dalam {1, 2}), (0 = x ^ 2 + 3x + 1) (x + 2) => x dalam {-1, -2}):} #

Mencuba setiap ini, kita dapati semua adalah penyelesaian persamaan asal, iaitu. #x dalam {-2, -1, 1, 2} #

Kaedah alternatif

Perhatikan bahawa akar sebenar # ax ^ 2 + b abs (x) + c = 0 # (di mana #c! = 0 #) adalah akar sebenar yang positif dari # ax ^ 2 + bx + c = 0 #.

Jadi untuk mencari yang mana persamaan yang diberikan mempunyai akar yang paling nyata sama dengan mencari yang mana persamaan kuadratik biasa yang sama mempunyai akar sebenar yang paling positif.

Persamaan kuadratik dengan dua akar sebenar positif mempunyai tanda dalam corak #+ - +# atau #- + -#. Dalam contoh kami tanda pertama sentiasa positif.

Daripada contoh yang diberikan, hanya kedua dan ketiga mempunyai pekali dalam corak #+ - +#.

Kita boleh menolak persamaan kedua # x ^ 2-2 abs (x) + 3 = 0 # kerana diskriminasinya adalah negatif, tetapi untuk persamaan ketiga kita dapati:

# 0 = x ^ 2-3x + 2 = (x-1) (x-2) #

mempunyai dua akar sebenar yang positif, menghasilkan #4# akar persamaan # x ^ 2-3 abs (x) +2 = 0 #

Telah diketahui bahawa persamaan bx ^ 2 (a-3b) x + b = 0 mempunyai satu akar sebenar. Buktikan bahawa persamaan x ^ 2 + (a-b) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 tidak mempunyai akar sebenar.?

Lihat di bawah. Akar untuk bx ^ 2 (a-3b) x + b = 0 ialah x = (a - 3 bpmsqrt [a ^ 2 - 6 ab + 5 b ^ 2]) / (2 b) dan sebenar jika a ^ 2 - 6 ab + 5 b ^ 2 = (a - 5 b) (a - b) = 0 atau a = b atau a = 5b Sekarang menyelesaikan x ^ 2 + (ab) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 kita mempunyai x = 1/2 (-a + b pm sqrt [a ^ 2 - 6 ab + 5 b ^ 2-4]) Keadaan untuk akar kompleks ialah ^ 5 b ^ 2-4 lt 0 kini membuat a = b atau a = 5b kita mempunyai ^ 2 - 6 ab + 5 b ^ 2-4 = -4 <0 Penutup, jika bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 mempunyai akar sebenar yang berlainan kemudian x ^ 2 + (ab) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 akan mempunyai akar kompleks.

Daripada 200 kanak-kanak, 100 mempunyai T-Rex, 70 mempunyai iPads dan 140 mempunyai telefon bimbit. 40 daripadanya mempunyai kedua-dua, T-Rex dan iPad, 30 mempunyai kedua-duanya, iPad dan telefon bimbit dan 60 mempunyai kedua-dua, T-Rex dan telefon bimbit dan 10 mempunyai kesemuanya. Berapa banyak anak-anak tidak mempunyai tiga anak?

10 tidak mempunyai tiga. 10 pelajar mempunyai kesemua tiga. ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Daripada 40 pelajar yang mempunyai T-Rex dan iPad, 10 pelajar juga mempunyai telefon bimbit (mereka mempunyai ketiga-tiga). Jadi 30 pelajar mempunyai T-Rex dan iPad tetapi tidak semuanya.Daripada 30 pelajar yang mempunyai iPad dan telefon bimbit, 10 pelajar mempunyai kesemua tiga. Jadi 20 pelajar mempunyai iPad dan telefon bimbit tetapi tidak semuanya. Daripada 60 pelajar yang mempunyai T-Rex dan telefon bimbit, 10 pelajar mempunyai ketiga-tiga mereka. Jadi 50 pelajar mempunyai T-Rex dan telefon bimbit tetapi tidak semuanya. ~~~

Tunjukkan bahawa jika p, q, r, s ialah bilangan sebenar dan pr = 2 (q + s) maka salah satu daripada persamaan x ^ 2 + px + q = 0 dan x ^ 2 + rx + s = 0 mempunyai akar sebenar?

Sila lihat di bawah. Diskriminasi x ^ 2 + px + q = 0 adalah Delta_1 = p ^ 2-4q dan bahawa x ^ 2 + rx + s = 0 adalah Delta_2 = r ^ 2-4s dan Delta_1 + Delta_2 = p ^ 2-4q + r ^ 2-4s = p ^ 2 + r ^ 2-4 (q + s) = (p + r) ^ 2-2pr-4 (q + s) = (p + r) ^ 2-2 [ -2 (q + s), dan jika pr = 2 (q + s), kita mempunyai Delta_1 + Delta_2 = (p + r) ^ 2 Oleh kerana jumlah kedua diskriminasi adalah positif, maka atleast salah satu persamaan x ^ 2 + px + q = 0 dan x ^ 2 + rx + s = 0 mempunyai akar sebenar.