Apakah akar kubus (sqrt3 -i)?

Saya akan mulakan dengan menukarkan nombor ke dalam bentuk trigonometri:

# z = sqrt (3) -i = 2 cos (-pi / 6) + isin (-pi / 6) #

Akar kubus nombor ini boleh ditulis sebagai:

# z ^ (1/3) #

Kini dengan pemikiran ini saya menggunakan formula untuk kuasa nth nombor kompleks dalam bentuk trigonometri:

# z ^ n = r ^ n cos (ntheta) + isin (ntheta) # memberi:

# z ^ (1/3) = 2 ^ (1/3) cos (-pi / 6 * 1/3) + isin (-pi / 6 * 1/3) =

# = 2 ^ (1/3) cos (-pi / 18) + isin (-pi / 18) #

Yang segiempat tepat ialah: # 4.2-0.7i #

Saya tidak dapat sepenuhnya bersetuju dengan jawapan Gió, kerana ia tidak lengkap dan juga (secara formal) salah.

Kesilapan rasmi adalah dalam penggunaan Formula De Moivre dengan eksponen bukan integer. Formula De Moivre boleh digunakan untuk eksponen integer sahaja. Lebih terperinci mengenai perkara ini di laman Wikipedia

Di sana anda akan mencari pelanjutan separa formula, untuk berurusan # n #-th akar (ia melibatkan parameter tambahan # k #): jika # z = r (cos theta + i sin theta) #, kemudian

# z ^ {1 / n} = r ^ {1 / n} (cos ((theta + 2k pi) / n) + i sin ((theta + 2k pi) / n) di mana # k = 0, …, n-1 #.

Satu (dan dalam beberapa segi yang) harta yang sangat asas nombor kompleks adalah bahawa # n #akar … # n # akar (penyelesaian)! Parameter itu # k # (yang berbeza antara #0# dan # n-1 #, jadi # n # nilai-nilai) membolehkan kita meringkaskannya dalam formula tunggal.

Jadi akar kiub mempunyai tiga penyelesaian dan mendapati hanya satu daripada mereka yang tidak mencukupi: ia hanya "#1/3# penyelesaiannya ".

Saya akan menulis cadangan penyelesaian saya di bawah. Komen dialu-alukan!

Seperti yang dicadangkan dengan betul Gió, langkah pertama adalah menyatakan # z = sqrt {3} -i # dalam bentuk trigonometrinya #r (cos theta + i sin theta) #. Apabila berurusan dengan akar, bentuk trigonometri adalah (hampir) sentiasa alat berguna (bersama dengan eksponen). Anda mendapatkan:

# r = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} = sqrt {(sqrt {3}) ^ 2 + (- 1) ^ 2} = sqrt {3 + 1} = sqrt {4}

# theta = arctan (y / x) = arctan (- 1 / sqrt {3}) = - pi / 6 #

Jadi # z = r (cos theta + i sin theta) = 2 (cos (-pi / 6) + i sin (-pi / 6)) #

Kini anda mahu mengira akarnya. Dengan formula yang dilaporkan di atas, kami dapat:

(z) {1/3} = r ^ {1/3} (cos ((theta + 2k pi) / 3) + i sin ((theta + 2k pi) 3} (cos ((-pi / 6 + 2k pi) / 3) + i sin ((-pi / 6 + 2k pi) / 3)) #

di mana # k = 0, 1, 2 #. Jadi terdapat tiga nilai yang berbeza # k # (#0#, #1# dan #2#) yang melahirkan tiga akar kompleks yang berbeza # z #:

# z_0 = 2 ^ {1/3} (cos ((-pi / 6 + 0) / 3) + i sin ((-pi / 6 + 0) / 3)) = 2 ^ {1/3} (-pi / 18) + i sin (-pi / 18)) #

# z_1 = 2 ^ {1/3} (cos ((-pi / 6 + 2 pi) / 3) + i sin ((-pi / 6 + 2 pi) / 3)) = 2 ^ {1/3} (cos (-11/18 pi) + i dosa (-11/18 pi)) #

# z_2 = 2 ^ {1/3} (cos ((-pi / 6 + 4 pi) / 3) + i sin ((-pi / 6 + 4 pi) / 3)) = 2 ^ {1/3} (cos (-23/18 pi) + i dosa (-23/18 pi)) #

# z_0 #, # z_1 # dan # z_2 # adalah tiga penyelesaian.

Tafsiran geometri formula untuk # n # akar sangat berguna untuk menarik penyelesaian dalam pesawat kompleks. Juga plot menunjukkan sangat baik sifat-sifat formula.

Pertama sekali, kita dapat melihat bahawa semua penyelesaian mempunyai jarak yang sama # r ^ {1 / n} # (dalam contoh kita #2^{1/3}#) dari asal. Jadi mereka semua berbaring di lilitan radius # r ^ {1 / n} #. Sekarang kita perlu menunjukkan di mana untuk meletakkan mereka di lilitan ini. Kita boleh menulis semula argumen sinus dan kosinus dengan cara berikut:

# z ^ {1 / n} = r ^ {1 / n} (cos (theta / n + (2pi) / n k) + i sin (theta / n + (2pi) / n k)

Akar "pertama" sepadan dengan # k = 0 #:

# z_0 = r ^ {1 / n} (cos (theta / n) + i sin (theta / n)) #

Semua akar lain boleh diperolehi dari ini dengan menambah sudut # (2pi) / n # secara rekursif ke sudut # theta / n # berbanding akar yang pertama # z_0 #. Jadi kita bergerak # z_0 # pada lilitan dengan putaran # (2pi) / n # radian (# (360 °) / n #). Oleh itu, titik-titik itu terletak pada simpul biasa # n #-gon. Memandangkan salah seorang daripada mereka, kita boleh mencari yang lain.

Dalam kes kami:

di mana sudut biru itu # theta / n = -pi / 18 # dan magenta itu # (2pi) / n = 2/3 pi #.