Apakah mata ekstrema dan pelana f (x, y) = 6 sin (-x) * sin ^ 2 (y) pada selang x, y dalam [-pi, pi]?

Jawapan:

Penjelasan:

Kami ada:

# f (x, y) = 6sin (-x) sin ^ 2 (y) #

# = -6sinxsin ^ 2y #

Langkah 2 - Kenal pasti Kritikal

Titik kritikal berlaku pada penyelesaian serentak

# f_x = f_y = 0 iff (parsial f) / (parsial x) = (parsial f) / (parsial y) = 0 #

iaitu ketika:

# {: (f_x = -6cosxsin ^ 2y, = 0, … A), (f_y = -6sinxsin2y, = 0, … B):}} # pada masa yang sama

Pertimbangkan persamaan A

# -6cosxsin ^ 2y = 0 #

Kemudian kita mempunyai dua penyelesaian:

# cosx = 0 => x = + - pi / 2 #

# sin y = 0 => y = 0, + - pi #

Kini mari kita gunakan Persamaan B untuk mencari koordinat yang sepadan:

# x = + -pi / 2 => sin2y = 0 #

# = = 2y = + -pi, + - 2pi => y = + - pi / 2, + -pi #

# y = 0, + - pi => x dalam RR # (longkang)

Yang memberi kita perkara kritikal berikut:

# (+ -pi / 2, + -pi / 2) # (4 mata kritikal)

# (+ -pi / 2, + -pi) # (4 mata kritikal)

# (alpha, 0) alpha AA dalam RR # (garis longkang)

# (alpha, + -pi) alpha AA dalam RR # (2 garis longkang)

Pertimbangkan persamaan B

# -6sinxsin2y = 0 #

Kemudian kita mempunyai dua penyelesaian:

# sinx = 0 => x = 0, + - pi #

# sin2y = 0 => 2y = 0 + - pi, + -2pi #

# \ => y = 0, + -pi / 2, + - pi #

Kini mari kita gunakan Persamaan A untuk mencari koordinat yang sepadan @

# x = 0, + - pi => siny = 0 => y = 0, + - pi # (ulangan di atas)

# y = 0 => x dalam RR # (ulangi di atas)

# y = + -pi / 2 => cosx = 0 #

# = = x = + - pi / 2 # (ulangan di atas)

Yang memberi kita tiada mata kritikal tambahan:

Langkah 3 - Klasifikasikan perkara kritikal

Untuk mengklasifikasikan titik kritikal kami melakukan ujian yang serupa dengan satu kalkulator berubah menggunakan derivatif separa kedua dan Hessian Matrix.

# Delta = H f (x, y) = | (f_ (x x) f_ (xy)), (f_ (yx) f_ (yy)) | = | ((parsial ^ 2 f) / (parsial x ^ 2), (parsial ^ 2 f) / (parsial x parsial y)) / (separa y ^ 2)) | = f_ (x x) f_ (yy) - (f_ (xy)) ^ 2 #

Kemudian bergantung kepada nilai # Delta #:

# {: (Delta> 0, "ada maksimum jika" f_ (xx) <0), (dan "minimum jika" f_ (xx)> 0), (Delta <0,), (Delta = 0, "Analisis lebih lanjut diperlukan"):} #

Menggunakan macro excel adat, nilai-nilai fungsi bersama-sama dengan nilai-nilai derivatif separa dihitung seperti berikut:

Inilah plot fungsi ini

Dan ploit dengan mata kritikal (dan selak)