Apakah bentuk persamaan standard parabola dengan directrix x = 5 dan fokus pada (11, -7)?

Jawapan:

Borang standard ialah:

#x = 1 / 12y ^ 2 + 14 / 12y + 145/12 #

Penjelasan:

Oleh kerana directrix adalah garis menegak, #x = 5 #, bentuk puncak untuk persamaan parabola ialah:

#x = 1 / (4f) (y-k) ^ 2 + h "1" #

di mana (h, k) ialah puncak dan #f ialah jarak mendatar yang ditandatangani dari puncak ke tumpuan.

Kita tahu bahawa koordinat y, k, titik puncak adalah sama dengan koordinat y fokus:

#k = -7 #

Pengganti -7 untuk k ke dalam persamaan 1:

#x = 1 / (4f) (y - 7) ^ 2 + h "2" #

Kita tahu bahawa x koordinat puncak adalah titik tengah antara x koordinat fokus dan x koordinat directrix:

# h = (x_ "fokus" + x_ "directrix") / 2 #

# h = (11 + 5) / 2 #

#h = 16/2 #

#h = 8 #

Gantikan 8 untuk h ke dalam persamaan 2:

#x = 1 / (4f) (y - 7) ^ 2 + 8 "3" #

Jarak fokus ialah jarak mendatar yang ditandatangani dari puncak ke arah fokus:

#f = x_ "fokus" -h #

#f = 11-8 #

#f = 3 #

Gantikan 3 untuk f ke dalam persamaan 3:

#x = 1 / (4 (3)) (y - 7) ^ 2 + 8 #

Kami akan membiak penyebut dan menulis - sebagai +

#x = 1/12 (y + 7) ^ 2 + 8 #

Kembangkan persegi itu:

#x = 1/12 (y ^ 2 + 14y + 49) + 8 #

Mengedarkan #1/12#

# x = 1 / 12y ^ 2 + 14 / 12y + 49/12 + 8 #

Menggabungkan istilah yang berterusan:

#x = 1 / 12y ^ 2 + 14 / 12y + 145/12 #

Jawapan:

# x = y ^ 2/12 + 7 / 6y + 145/12 #

Penjelasan:

Directrix # x = 5 #

Fokus #(11, -7)#

Daripada ini, kita dapat mengetahui puncaknya.

Lihat rajah

Vertex terletak tepat di antara Directrix dan Focus

# x, y = (5 + 11) / 2, (-7 + (-7)) / 2 = (8, -7) #

Jarak antara Fokus dan puncaknya ialah # a = 3 #

Parabola dibuka ke kanan

Persamaan Parabola di sini adalah -

# (y-k) ^ 2 = 4a (x-h) #

# (h, k) # adalah puncak

# h = 8 #

# k = -7 #

Pasangkan # h = 8; k = -7 dan a = 3 # dalam persamaan

# (y - (- 7)) ^ 2 = 4.3 (x-8) #

# (y + 7) ^ 2 = 4.3 (x-8) #

# 12x-96 = y ^ 2 + 14y + 49 # dengan menukarkan

# 12x = y ^ 2 + 14y + 49 + 96 #

# 12x = y ^ 2 + 14y + 145 #

# x = y ^ 2/12 + 14 / 12y + 145/12 #

# x = y ^ 2/12 + 7 / 6y + 145/12 #