Jawapan:
#3#
Penjelasan:
Biarkan
# x = sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7-sqrt (7 +
di mana kita mengekang penyelesaian kita menjadi positif kerana kita mengambil hanya akar kuadrat positif i.e. #x> = 0 #. Squaring both sides we have
# x ^ 2 = 7 + sqrt (7-sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7-sqrt (7 +
# => x ^ 2-7 = sqrt (7-sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7-sqrt (7 +
Di mana kali ini kita menghalang sebelah kiri untuk menjadi positif, kerana kita hanya mahu root square positif iaitu.
# x ^ 2-7> = 0 # #=># # x> = sqrt (7) ~ = 2.65 #
di mana kita telah menghapuskan kemungkinan #x <= - sqrt (7) # menggunakan kekangan pertama kami.
Sekali lagi menjaringkan kedua-dua belah pihak yang kita ada
# (x ^ 2-7) ^ 2 #=# 7-sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7-sqrt (7 + …….. oo #
# (x ^ 2-7) ^ 2-7 = -sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7-sqrt (7+ …….. oo #
Ungkapan dalam akar persegi berulang adalah ungkapan asal untuk # x #, Oleh itu
# (x ^ 2-7) ^ 2-7 = -x #
atau
# (x ^ 2-7) ^ 2-7 + x = 0 #
Penyelesaian percubaan persamaan ini adalah # x = -2 # dan # x = + 3 # yang mengakibatkan faktorisasi berikut
# (x + 2) (x-3) (x ^ 2 + x-7) = 0 #
Menggunakan formula kuadratik pada faktor ketiga # (x ^ 2 + x-7) = 0 # memberikan dua lagi akar:
# (- 1 + -sqrt (29)) / 2 ~ = 2.19 "dan" -3.19 #
Oleh itu, empat akar polinomial tersebut #-3.19…, -2, 2.19…, # dan #3#. Hanya satu daripada nilai ini memenuhi kekangan kami # x> = sqrt (7) ~ = 2.65 #, Oleh itu
# x = 3 #
Jawapan:
Cara lain
Penjelasan:
Saya suka untuk membincangkan cara yang rumit untuk mendapatkan penyelesaian sepintas lalu mengenai masalah akar berulang persegi seperti berikut
# sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r +
di mana # r # tergolong dalam siri berikut
#3,7,13,21,31…………#, istilah umum yang diberikan oleh
# m ^ 2-m + 1 # di mana # m epsilon N # dan #m> 1 #
TRIK
Jika 1 dikurangkan daripada Nombor yang diberikan # m ^ 2-m + 1 # nombor yang dihasilkan menjadi # m ^ 2-m # iaitu #m (m-1) # dan yang tidak lain hanyalah produk dari dua nombor berturut-turut dan lebih besar daripada kedua-dua ini akan menjadi penyelesaian unik masalah.
apabila r = # m ^ 2-m + 1 # faktor # m ^ 2-m + 1-1 # = # (m-1) m # dan m ialah jawapannya
apabila r = 3 faktor (3-1) = 2 = 1.2 dan 2 adalah jawapannya
apabila r = 7 faktor (7-1) = 6 = 2.3 dan 3 adalah jawapannya
dan sebagainya…….
Penjelasan
Mengambil
# x = sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r +
Squaring both sides
# x ^ 2 = r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r +
# x ^ 2 r = sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r +
Sekali lagi Squaring kedua belah pihak
# (x ^ 2 r) ^ 2 = r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r +
# (x ^ 2 r) ^ 2-r = -x #
# (x ^ 2 r) ^ 2-r + x = 0 #
meletakkan r = # m ^ 2-m + 1 #
# (x ^ 2 (m ^ 2-m + 1)) ^ 2 (m ^ 2-m + 1) + x = 0 #
jika kita meletakkan x = m dalam LHS persamaan ini, LHS menjadi
LHS =
# (m ^ 2- (m ^ 2-m + 1)) ^ 2- (m ^ 2-m + 1) + m #
# = (batalkan (m ^ 2) - batal (m ^ 2) + m-1)) ^ 2- (m ^ 2-m + 1-m) #
# = (m-1)) ^ 2- (m-1) ^ 2 = 0 #
persamaan itu berpuas hati.
Oleh itu m adalah jawapannya
mari kita letakkan
# x = sqrt (7 + sqrt (7 sqrt (7 + sqrt (7-sqrt …. #
Kita boleh melihatnya dengan mudah
#sqrt (7 + sqrt (7-x)) = x #
Oleh itu mari kita selesaikan persamaan ini:
# 7 + sqrt (7-x) = x ^ 2 #
#sqrt (7-x) = x ^ 2-7 #
# 7-x = (x ^ 2-7) ^ 2 = x ^ 4-14x ^ 2 + 49 #
# x ^ 4-14x ^ 2 + x + 42 = 0 #
Ini bukan persamaan remeh yang perlu diselesaikan. Salah satu daripada orang lain yang menjawab persoalan merujuk penyelesaiannya 3. Jika anda mencubanya, anda akan melihatnya benar.
