Tolong, ada yang membantu menyelesaikan masalah ini?

Jawapan:

Cuba perubahan # x = tan u #

Lihat di bawah

Penjelasan:

Kami tahu itu # 1 + tan ^ 2 u = sec ^ 2u #

Dengan perubahan yang dicadangkan kita ada

# dx = sec ^ 2u du #. Membiarkan pengganti dalam integral

# intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = intsec ^ 2u / (1 + tan ^ 2u) ^ (3/2) du = intsec ^ 2u / sec ^ 3udu = int1 / secudu = intcosudu = sinu + C #

Oleh itu, membatalkan perubahan:

# u = arctanx # dan akhirnya kita ada

#sin u + C = sin (arctanx) + C #

Jawapan:

#color (biru) (intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = x / sqrt (1 + x ^ 2) + C) #

Penjelasan:

Mari cuba gunakan Pergantian Trigonometri untuk menyelesaikan integral ini. Untuk berbuat demikian, kita akan membina segitiga sudut yang betul #Delta ABC # dan labelkan pihak dengan cara yang menggunakan formula Pythagoras 'kita dapat memperoleh ungkapan yang sedang kita lihat dalam argumen yang penting seperti berikut:

Sudut # / _ B = theta # mempunyai sisi yang bertentangan # x # dan sisi bersebelahan #1#. Menggunakan formula Pythagoras:

# (BC) ^ 2 = (AB) ^ 2 + (AC) ^ 2 # keputusan dalam:

# (BC) ^ 2 = 1 ^ 2 + x ^ 2 = 1 + x ^ 2 #

# BC = sqrt (1 + x ^ 2 # seperti yang ditunjukkan.

Sekarang, mari kita tulis tiga fungsi trigonometri paling asas untuk # theta #:

# sintheta = x / sqrt (1 + x ^ 2) #

# costheta = 1 / sqrt (1 + x ^ 2) #

# tantheta = x / 1 = x #

Sekarang kita perlu menggunakan persamaan ini untuk menyelesaikan pelbagai hujah integral dalam istilah trigonometri. Mari kita gunakan # tantheta #:

# tantheta = x #

Mari kita ambil derivatif dari kedua belah pihak:

# sec ^ 2 theta d theta = dx #

Daripada # costheta # persamaan, kita boleh selesaikan #sqrt (1 + x ^ 2) #:

#sqrt (1 + x ^ 2) = 1 / costheta = sectheta #

Sekiranya kita meningkatkan kedua-dua belah persamaan ini kepada kuasa #3# kita mendapatkan:

# sec ^ 3theta = (sqrt (1 + x ^ 2)) ^ 3 = ((1 + x ^ 2) ^ (1/2)) ^ 3 = (1 + x ^ 2) ^ (3/2)

Sekarang, kita boleh menggantikan apa yang kita telah dikira menjadi masalah yang penting untuk menjadikannya sebagai integral trigonometri:

# intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = int (sec ^ 2thetad theta) / sec ^ 3theta = intsec ^ 2theta / (secthetasec ^ 2theta) d theta = intcancelcolor (red) (sec ^ 2theta) / (secthetacancelcolor (merah) (sec ^ 2theta)) d theta = int1 / secthetad theta = int1 / (1 / costheta) d theta = intcosthetad theta = sintheta + C #

Sekarang, kita boleh mengganti semula # sintheta # dan berikan jawapan kami kembali ke dalam ungkapan algebra dari segi # x #:

#color (biru) (intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = x / sqrt (1 + x ^ 2) + C) #