Kira sum_ (n = 0) ^ oo sqrt (n + 3) + sqrtn-2sqrt (n + 2)?

Jawapan:

Siri Teleskop 1

Penjelasan:

#Sigma (sqrt (n + 2) - 2sqrt (n + 1) + sqrt (n)) #

#Sigma (sqrt (n + 2) - sqrt (n + 1) -sqrt (n + 1) + sqrt (n)) #

#Sigma ((sqrt (n + 2) - sqrt (n + 1)) ((sqrt (n + 2) + sqrt (n + 1) (+ sqrt (n + 1) + sqrt (n)) ((sqrt (n + 1) + sqrt (n)

#Sigma (1 / (sqrt (n + 2) + sqrt (n + 1)) + (- 1) / (sqrt (n + 1) + sqrt (n)

Ini adalah siri runtuh (teleskop).

Istilah pertamanya adalah

# -1 / (sqrt (2) + 1) = 1-sqrt2 #.

Jawapan:

Lihat di bawah.

Penjelasan:

Ini bersamaan dengan

#sum_ (n = 3) ^ oo sqrtn + sum_ (n = 1) ^ oo sqrtn - 2 sum_ (n = 2) ^ oo sqrtn = 1-sqrt2 #

Tunjukkan bahawa 1 + 1 / sqrt2 + cdots + 1 / sqrtn> = sqrt2 (n-1), untuk n> 1?

Di bawah Untuk menunjukkan bahawa ketidaksamaan adalah benar, anda menggunakan induksi matematik 1 + 1 / sqrt2 + ... + 1 / sqrtn> = sqrt2 (n-1) untuk n> 1 Langkah 1: Buktikan benar untuk n = 2 LHS = 1 / sqrt2 RHS = sqrt2 (2-1) = sqrt2 Sejak 1 + 1 / sqrt2> sqrt2, kemudian LHS> RHS. Oleh itu, adalah benar bagi n = 2 Langkah 2: Anggapkan benar bagi n = k di mana k adalah integer dan k> 1 1 + 1 / sqrt2 + ... + 1 / sqrtk> = sqrt2 (k-1) --- (1) Langkah 3: Apabila n = k +1, RTP: 1 + 1 / sqrt2 + ... + 1 / sqrtk + 1 / sqrt (k + 1)> = sqrt2 (k + 1-1) RK = = sqrt2- (1 + 1 / sqrt2 + ... + 1 / sqrtk + 1 / sqrt (k +

Panjang sampingan segitiga akut adalah sqrtn, sqrt (n + 1), dan sqrt (n + 2). Bagaimana anda mencari n?

Sekiranya segi tiga adalah segi tiga yang betul maka segiempat sama sisi terbesar adalah sama dengan jumlah kotak yang lebih kecil. Tetapi segitiga adalah satu sudut yang akut. Oleh itu, segi empat segi paling besar adalah kurang daripada jumlah kotak yang lebih kecil. Oleh itu (sqrt (n + 2)) ^ 2 <(sqrtn) ^ 2 + (sqrt (n + 1)) ^ 2 => n + 2 <n + n + 1 => n> 1