Gunakan a) dan b) untuk membuktikan hatT_L = e ^ (LhatD) (a) [hatT_L, hatD] = 0 (b) [hatx, hatT_L] = - LhatT_L?

Dari apa sahaja yang anda katakan di sana, semua yang kelihatan seperti yang kita patut lakukan adalah untuk menunjukkannya #hatT_L = e ^ (ihatp_xL // ℏ) #. Sepertimana apa jua tempat anda mendapat soalan ini dari keliru tentang definisi # hatT_L #.

Kami akan membuktikan bahawa menggunakan

#hatT_L - = e ^ (LhatD) = e ^ (ihatp_xL // ℏ) #

memberi

# hatD, hatx - = ihatp_x // ℏ, hatx = 1 #

dan tidak #hatT_L = e ^ (- LhatD) #. Jika kita mahu semuanya menjadi konsisten, maka jika #hatT_L = e ^ (- LhatD) #, ia mestilah seperti itu # hatD, hatx = bb (-1) #. Saya telah membetulkan persoalan dan mengalamatkannya.

Dari bahagian 1, kami telah menunjukkan bahawa untuk definisi ini (itu #hatT_L - = e ^ (LhatD) #),

# hatx, hatT_L = -LhatT_L #.

Sejak #f (x_0 - L) # adalah sebuah eigenstate of # hatT_L #, bentuk segera yang datang ke fikiran adalah pengendali eksponen # e ^ (LhatD) #. Kami intuitinya #hatD = + ihatp_x // ℏ #, dan kami akan menunjukkan bahawa itu benar.

Ingat bahawa dalam bukti yang ditunjukkan dalam bahagian 1, kami telah menulis:

#hatx (hatT_L f (x_0)) = (hatx, hatT_L + hatT_Lhatx) f (x_0) #

# = -LhatT_Lf (x_0) + hatT_Lhatxf (x_0) #

dan di sinilah kita perlu menggunakannya. Apa yang perlu kita lakukan ialah Taylor berkembang pengendali eksponen dan menunjukkan bahawa bukti di atas masih dipegang.

Ini juga ditunjukkan secara terperinci di sini. Saya memperluaskannya untuk lebih teliti …

# e ^ (LhatD) = sum_ (n = 0) ^ (oo) (LhatD) ^ (n) / (n!) = sum_ (n = 0) hatD) ^ n #

Berikan itu # L # adalah malar, kita boleh faktor yang keluar dari commutator itu. # hatx # boleh masuk, tidak bergantung kepada indeks. Oleh itu:

# hatx, e ^ (LhatD) = sum_ (n = 0) ^ (oo) {1 / (n!) (L ^ n) hatx, hatD ^ n} #

Sekarang, kami mencadangkannya #hatD = ihatp_x // ℏ #, dan itu akan masuk akal kerana kita tahu bahawa:

# hatx, hatp_x f (x) = -iℏx (df) / (dx) + iℏd / (dx) (xf (x)) #

# = membatalkan (-iℏx (df) / (dx) + iℏx (df) / (dx)) + iℏf (x) #

supaya itu # hatx, hatp_x = iℏ #. Ini bermakna bahawa selama ini #hatT_L = e ^ (LhatD) #, akhirnya kita boleh mendapatkan takrif KONSISTEN di kedua-dua bahagian masalah dan mendapatkan:

#color (biru) (hatD "," hatx) = (ihatp_x) / (ℏ), hatx #

# = - (hatp_x) / (iℏ), hatx = -1 / (iℏ) hatp_x, hatx #

# = -1 / (iℏ) cdot - hatx, hatp_x #

# = -1 / (iℏ) cdot-iℏ = warna (biru) (1) #

Dari sini, kami terus memperluas commutator:

# hatx, e ^ (ihatp_xL // ℏ) = sum_ (n = 0) ^ (oo) {1 / (n!) (L ^ n) hatx, ((ihatp_x) / (ℏ) } #

# = sum_ (n = 0) ^ (oo) {1 / (n!) ((iL) / (ℏ)) ^ n hatx, hatp_x ^ n} #

Sekarang, kita tahu # hatx, hatp_x #, tetapi tidak semestinya # hatx, hatp_x ^ n #. Anda boleh meyakinkan diri sendiri bahawa

(dx ^ (n-1) f)) #

dan itu

# hatp_x ^ n = hatp_xhatp_xhatp_xcdots #

# = (-iℏ) d / (dx) ^ n = (-iℏ) ^ n (d ^ n) / (dx ^ n) #

supaya:

# hatx, hatp_x ^ n = hatxhatp_x ^ n - hatp_x ^ nhatx #

# = x cdot (-iℏ) ^ n (d ^ n f) / (dx ^ n) - (-iℏ) ^ n d ^ n / (dx ^ n) (xf (x)

# = (-iℏ) ^ nx (d ^ nf) / (dx ^ n) - (-iℏ) ^ n (x (d ^ nf) / (dx ^ n) + n (d ^ f) / (dx ^ (n-1))) #

(x (d ^ nf) / (dx ^ n)) - batal (x (d ^ nf) / (dx ^ n)) - n (d ^ (n-1) f) / (dx ^ (n-1))} #

(n-1)

# = iℏn (-iℏ) ^ (n-1) (d ^ (n-1)) / (dx ^ (n-1)) f (x) #

Kami sedar bahawa # hatp_x ^ (n-1) = (-iℏ) ^ (n-1) (d ^ (n-1)) / (dx ^ (n-1)) #. Oleh itu,

# hatx, hatp_x ^ n = iℏnhatp_x ^ (n-1) #, dengan syarat #n> = 1 #.

Daripada ini, kita dapati:

# hatx "," e ^ (ihatp_xL // ℏ) = sum_ (n = 0) ^ (oo) {1 / (n!) (L ^ n) hatx, ((ihatp_x) / (ℏ) ^ n} #

# = sum_ (n = 1) ^ (oo) {1 / (n!) ((iL) / (ℏ)) ^ n iℏnhatp_x ^ (n-1)

di mana jika anda menilai #n = 0 # jangka masa, anda harus melihat bahawa ia pergi ke sifar, jadi kami tidak menghiraukannya. Prosiding, kami ada:

# = iℏ sum_ (n = 1) ^ (oo) n / (n!) ((iL) / (ℏ)) ^ n hatp_x ^ (n-1) #

(n-1) ^ (oo) 1 / ((n-1)!) ((iL) / ℏ) ^ (n-1) ((iL) / ℏ) hatp_x ^) #

Di sini kita hanya cuba untuk membuat kelihatan seperti fungsi eksponen sekali lagi.

= (ihatp_xL) / ℏ) ^ (n-1) / ((n-1)!) #

(istilah kumpulan)

# = -L sum_ (n = 1) ^ (oo) ((ihatp_xL) / ℏ) ^ (n-1) / ((n-1)!) #

(menilai bahagian luar)

# = -L overbrace (sum_ (n = 0) ^ (oo) ((ihatp_xL) / ℏ) ^ (n) / (n!)) ^ (E ^ (ihatp_xL // ℏ)

(jika # n # bermula pada sifar, yang # (n-1) #Istilah menjadi # n #th term.)

Akibatnya, kami akhirnya mendapat:

# => warna (biru) (hatx "," e ^ (ihatp_xL // ℏ)) = -Le ^ (ihatp_xL // ℏ) #

# - = -Le ^ (LhatD) #

# - = warna (biru) (- LhatT_L) #

Dan kita kembali ke komutator asal, iaitu itu

# hatx, hatT_L = -LhatT_L warna (biru) (sqrt "") #

Terakhir, mari tunjukkan # hatT_L, hatD = 0 #.

# hatT_L, hatD = e ^ (LhatD), hatD #

# = sum_ (n = 0) ^ (oo) ((LhatD) ^ n) / (n!), hatD #

(n = 0) ^ (oo) ((LhatD) ^ n) / (n!)) hatD - hatD (sum_ (n = 0) !)) #

Menulis ini dengan jelas, kita dapat melihatnya berfungsi:

# = warna (biru) (hatT_L "," hatD) = ((LhatD) ^ 0) / (0!) hatD + ((LhatD) ^ 1) / (1!) hatD +… - hatD ((LhatD) ^ 0) / (0!) + hatD ((LhatD) ^ 1) / (1!) +… #

- (hat!) (0!) HatD - hatD ((LhatD) ^ 0) / (0!) + ((LhatD) ^ 1) / (1!) HatD - hatD ((LhatD) 1) / (1!) +… #

# = ((LhatD) ^ 0) / (0!), HatD + (LhatD) ^ (1) / (1!), HatD +… #

# = L ^ 0 / (0!) (HatD) ^ 0, hatD + L ^ 1 / (1!) (HatD) ^ (1), hatD +… #

# = warna (biru) (sum_ (n = 0) ^ (oo) L ^ n / (n!) (hatD) ^ n "," hatD) #

dan sejak # hatD # sentiasa bersiar-siar dengan sendirinya, # hatD ^ n, hatD = 0 # dan oleh itu,

# hatT_L, hatD = 0 # #color (biru) (sqrt "") #