Sebuah bola dijatuhkan lurus dari ketinggian 12 kaki. Apabila memukul tanah ia melantun 1/3 dari jarak ia jatuh. Sejauh mana bola bergerak (kedua-dua ke atas dan ke bawah) sebelum beristirahat?

Jawapan:

Bola akan bergerak 24 kaki.

Penjelasan:

Masalah ini memerlukan pertimbangan siri tak terhingga. Pertimbangkan tingkah laku sebenar bola:

Pertama bola jatuh 12 kaki.

Seterusnya bola memantul #12/3 = 4# kaki.

Bola kemudian jatuh 4 kaki.

Pada setiap lantunan berturut-turut, bola bergerak

# 2 * 12 / (3 ^ n) = 24/3 ^ n # kaki, di mana # n # adalah bilangan bounces

Oleh itu, jika kita membayangkan bahawa bola bermula dari #n = 0 #, maka jawapan kita boleh diperolehi daripada siri geometri:

# sum_ (n = 0) ^ tidak tahan 24/3 ^ n - 12 #

Perhatikan #-12# istilah pembetulan, ini kerana jika kita bermula # n = 0 # kami menghitung lantunan 0 kaki 12 kaki dan 12 kaki ke bawah. Sebenarnya bola hanya bergerak separuh daripada itu, kerana ia bermula di tengah-tengah.

Kami boleh memudahkan jumlah kami untuk:

# 24sum_ (n = 0) ^ infty 1/3 ^ n - 12 #

Ini hanyalah satu siri geometri yang mudah, yang mengikuti peraturan bahawa:

#lim_ (n-> kurang) sum_ (i = 0) ^ n r ^ i = 1 / (1 - r) #

Selagi # | r | <1 #

Ini menghasilkan penyelesaian yang mudah untuk masalah kami:

# 24sum_ (n = 0) ^ infty 1/3 ^ n - 12 = 24 * 1 / (1-1 / 3) - 12 #

# = 24*1/(2/3) - 12 = 24*3/2 -12 #

#= 36 - 12 = 24# kaki.