Tunjukkan bahawa int_0 ^ 1sinx / sqrt (x ^ 2 + 1) dx

Jawapan:

Lihat penjelasan

Penjelasan:

Kami mahu tunjukkan

# int_0 ^ 1sin (x) / sqrt (x ^ 2 + 1) dx <sqrt (2) -1 #

Ini adalah satu perkara yang agak "hodoh", jadi pendekatan kami tidak akan menyelesaikan masalah ini, tetapi membandingkannya dengan "yang lebih baik"

Kami kini untuk semua nombor nyata positif #color (merah) (sin (x) <= x) #

Oleh itu, nilai integrand juga akan menjadi lebih besar, untuk semua nombor nyata positif, jika kita mengganti # x = sin (x) #, jadi jika kita boleh tunjukkan

# int_0 ^ 1x / sqrt (x ^ 2 + 1) dx <sqrt (2) -1 #

Kemudian kenyataan pertama kami juga mesti benar

Integral baru adalah masalah penggantian mudah

# int_0 ^ 1x / sqrt (x ^ 2 + 1) = sqrt (x ^ 2 + 1) _ 0 ^ 1 = sqrt (2) -1 #

Langkah terakhir adalah untuk melihatnya #sin (x) = x => x = 0 #

Oleh itu, kita boleh membuat kesimpulan

# int_0 ^ 1sin (x) / sqrt (x ^ 2 + 1) dx <sqrt (2) -1 #