Apakah perkembangan Taylor dari ^ (- 2x) berpusat pada x = 0?

Jawapan:

#e ^ (- 2x) = sum_ (n = 0) ^ oo (-2) ^ n / (n!) x ^ n = 1-2x + 2x ^ 2-4 / 3x ^ 3 + 2 / 3x ^ 4 … #

Penjelasan:

Kes siri taylor berkembang di sekitar #0# dipanggil siri Maclaurin. Formula umum untuk siri Maclaurin ialah:

#f (x) = sum_ (n = 0) ^ oof ^ n (0) / (n!) x ^ n #

Untuk menyelesaikan satu siri untuk fungsi kami, kita boleh mulakan dengan fungsi untuk # e ^ x # dan kemudian gunakannya untuk mencari formula untuk #e ^ (- 2x) #.

Untuk membina siri Maclaurin, kita perlu memikirkan derivatif n # e ^ x #. Jika kita mengambil beberapa derivatif, kita dapat dengan cepat melihat corak:

#f (x) = e ^ x #

#f '(x) = e ^ x #

#f '' (x) = e ^ x #

Malah, derivatif n # e ^ x # betul # e ^ x #. Kita boleh memasukkannya ke dalam formula Maclaurin:

= e ^ x = sum_ (n = 0) ^ ooe ^ 0 / (n!) x ^ n = sum_ (n = 0) ^ oox ^ n / (n!) = 1 + x / (1!) + ^ 2 / (2!) + X ^ 3 / (3!) … #

Sekarang kita mempunyai siri taylor untuk # e ^ x #, kita hanya boleh menggantikan semua # x #dengan # -2x # untuk mendapatkan siri untuk #e ^ (- 2x) #:

(n = 0) ^ oo (-2x) ^ n / (n!) = sum_ (n = 0) ^ oo (-2) ^ n / (n!) x ^ n = #

# = 1-2 / (1!) X + 4 / (2!) X ^ 2-8 / (3!) X ^ 3 + 16 / (4!) X ^ 4 … =

# = 1-2x + 2x ^ 2-4 / 3x ^ 3 + 2 / 3x ^ 4 … #

yang merupakan siri yang kami cari.

Nisbah umum bagi perkembangan ggeometric adalah r yang pertama dalam perkembangan adalah (r ^ 2-3r + 2) dan jumlah infiniti adalah S Tunjukkan bahawa S = 2-r (saya ada) Cari set nilai yang mungkin S boleh ambil?

S = a / {1-r} = {r ^ 2-3r + 2} / {1-r} = {(r-1) (r-2)} / {1-r} = 2 r Sejak | r | <1 kita mendapat 1 <S <3 # Kami mempunyai S = sum_ {k = 0} ^ {infty} (r ^ 2-3r + 2) r ^ k Jumlah umum bagi satu siri geometri tak terhingga adalah sum_ { S = {r ^ 2-3r + 2} / {1-r} = {(r-1) (r-2 )} / {1-r} = siri Geometri 2-r hanya menumpu apabila | r | <1, jadi kita dapat 1 <S <3 #

Jonathan pergi tidur pada 9:30 malam pada malam sekolah dan bangun pada jam 6:00 pagi. Pada hari Jumaat dan Sabtu, dia tidur pada pukul 11 malam dan bangun pukul 9.00 pagi. Apakah kadar purata jamuan Jonathan pada waktu tidur malam?

8hrs dan 55min Pada malam sekolah, Jonathan tidur dari pukul 9:30 hingga 6:00 pagi. Maksudnya dia tidur selama = 8.5 jam malam ini Jadi tidurnya selama 5 malam (Mon-Thu dan Sun) = 5xx8.5 = 42.5hrs Pada hari Jumaat & Sabtu, dia tidur dari 11:00 hingga 9:00 pagi iaitu tidur selama 10 jam pada setiap dua hari ini. Jadi, jumlah tidurnya pada hari Jumaat dan Sabtu = 2xx10 = 20 jam Sekarang, jumlah jam tidurnya sepanjang minggu = 42.5 + 20 = 62.5 jam Dan purata tidurnya tidur setiap malam = 62.5 / 7 = 8.92 jam atau kira-kira 8 jam dan 55 minit

Bagaimanakah anda menemui polynomial Taylor derajat ketiga untuk f (x) = ln x, berpusat pada a = 2?

Ln (2) +1/2 (x-2) -1/8 (x-2) ^ 2 + 1/24 (x-2) ^ 3. Bentuk umum pengembangan Taylor yang berpusat pada fungsi analitis f adalah f (x) = sum_ {n = 0} ^ o ^ ^ ((n)) (a) / (n!) (X-a) ^ n. Di sini f ^ ((n)) ialah n derivatif f. Polinomial Taylor derajat ketiga adalah polinomial yang terdiri daripada empat pertama (n dari 0 hingga 3) segi pengembangan penuh Taylor. Oleh itu polinomial ini adalah f (a) + f '(a) (xa) + (f' '(a)) / 2 (xa) ^ 2 + . f (x) = ln (x), oleh itu f '(x) = 1 / x, f' '(x) = - 1 / x ^ 2, f' '' (x) = 2 / x ^ 3. Jadi polinomial Taylor derajat ketiga ialah: ln (a) + 1 / a (x-a)