Bagaimanakah anda menemui polynomial Taylor derajat ketiga untuk f (x) = ln x, berpusat pada a = 2?

Jawapan:

#ln (2) +1/2 (x-2) -1/8 (x-2) ^ 2 + 1/24 (x-2) ^ 3 #.

Penjelasan:

Bentuk umum pengembangan Taylor berpusat pada # a # fungsi analitik # f # adalah #f (x) = sum_ {n = 0} ^ o ^ ^ ((n)) (a) / (n!) (x-a) ^ n #. Di sini #f ^ ((n)) # adalah derivatif n # f #.

Tahap ketiga Taylor polinomial adalah polinomial yang terdiri daripada empat pertama (# n # antara #0# kepada #3#) terma peluasan penuh Taylor.

Oleh itu polinomial ini adalah (a) + (f) (a)) / 2 (x-a) ^ 2 + (f '' '(a)) / 6 (x-a) ^ 3 #.

#f (x) = ln (x) #, Oleh itu #f '(x) = 1 / x #, #f '' (x) = - 1 / x ^ 2 #, #f '' '(x) = 2 / x ^ 3 #. Oleh itu, polinomial Taylor derajat ketiga ialah:

#ln (a) + 1 / a (x-a) -1 / (2a ^ 2) (x-a) ^ 2 + 1 / (3a ^ 3) (x-a) ^ 3 #.

Sekarang kita ada # a = 2 #, jadi kita mempunyai polinomial:

#ln (2) +1/2 (x-2) -1/8 (x-2) ^ 2 + 1/24 (x-2) ^ 3 #.