Apakah tempoh f (t) = sin (t / 36) + cos ((t) / 42)?

Jawapan:

#T = 504pi #

Penjelasan:

Pertama sekali, kita tahu itu #sin (x) # dan #cos (x) # mempunyai tempoh # 2pi #.

Daripada ini, kita dapat memotongnya #sin (x / k) # mempunyai tempoh # k * 2pi #: anda boleh berfikir bahawa # x / k # adalah pembolehubah yang berjalan di # 1 / k # kelajuan # x #. Jadi, sebagai contoh, # x / 2 # berjalan pada separuh kelajuan # x #, dan ia perlu # 4pi # untuk mempunyai tempoh, bukannya # 2pi #.

Dalam kes anda, #sin (t / 36) # akan mempunyai tempoh # 72pi #, dan #cos (t / 42) # akan mempunyai tempoh # 84pi #.

Fungsi global anda adalah jumlah dua fungsi berkala. Oleh itu, #f (x) # adalah berkala dengan tempoh # T # jika # T # adalah nombor terkecil seperti itu

#f (x + T) = f (x) #

dan dalam kes anda, ini diterjemahkan ke dalam

(t / 42 + T) = sin (t / 36) + cos (t / 42) #

Dari sini, anda dapat melihat bahawa tempoh #f (x) # tidak boleh # 72pi # tidak # 84pi #, kerana hanya satu dari dua istilah yang akan membuat keseluruhan gilirannya, sementara yang lain akan menganggap nilai yang berbeza. Dan sejak kita perlukan kedua-duanya syarat-syarat untuk melakukan keseluruhan gilirannya, kita perlu mengambil gandaan yang paling kurang antara kedua-dua tempoh tersebut:

#lcm (72pi, 84pi) = 504pi #

Jawapan:

# 1512pi #.

Penjelasan:

Sekurang-kurangnya positif P (jika ada) sedemikian rupa sehingga f (t + P) = f (t) adalah sesuai

dipanggil tempoh f (t). Untuk ini P, f (t + nP) = f (t), n = + - 1,, + -2, + -3, … #.

Untuk #sin t dan cos t, P = 2pi #

Untuk #sin kt dan cos kt, P = 2 / kpi #

Di sini, tempoh untuk #sin (t / 36) # adalah pi / 18 # dan, untuk #cos (t / 42) #, ia adalah # pi / 21 #.

Untuk ayunan yang dikompaun f (t), tempoh P sepatutnya

jadi ia juga merupakan tempoh untuk istilah yang berasingan.

P ini diberikan oleh # P = M (pi / 18) = N (pi / 21). Bagi M = 42 dan N = 36, # P = 1512 pi #

Sekarang, lihat bagaimana ia berfungsi.

#f (t + 1512pi) #

# = sin (t / 36 + 42pi) + cos (t / 42 + 36pi) #

# = sin (t / 36) + cos (t / 42) #

# = f (t).

Jika separuh P ke 761 dan ini adalah ganjil. Jadi, P = 1512 adalah yang paling mungkin

walaupun berganda # pi #.