Apakah derivatif -in (x)?

Jawapan sebelumnya mengandungi kesilapan. Inilah derivasi yang betul.

Pertama sekali, tanda minus di depan fungsi #f (x) = - sin (x) #, apabila mengambil derivatif, akan mengubah tanda derivatif fungsi #f (x) = sin (x) # sebaliknya. Ini adalah teorem mudah dalam teori had: batasan pemalar yang didarab dengan pemboleh ubah sama dengan pemalar ini didarabkan dengan had pembolehubah. Jadi, mari kita cari derivatif #f (x) = sin (x) # dan kemudian kalikan dengan #-1#.

Kita perlu bermula dari pernyataan berikut tentang had fungsi trigonometri #f (x) = sin (x) # kerana argumennya cenderung kepada sifar:

#lim_ (h-> 0) dosa (h) / h = 1 #

Bukti ini semata-mata geometri dan berdasarkan definisi fungsi #sin (x) #. Terdapat banyak sumber Web yang mengandungi bukti pernyataan ini, seperti The Math Page.

Menggunakan ini, kita dapat mengira terbitan #f (x) = sin (x) #:

#f '(x) = lim_ (h-> 0) (sin (x + h) -sin (x)) / h #

Menggunakan perwakilan perbezaan # sin # berfungsi sebagai produk daripada # sin # dan # cos # (lihat Unizor, Trigonometri - Jumlah Sudut Trig - Masalah 4), #f '(x) = lim_ (h-> 0) (2 * sin (h / 2) cos (x + h / 2)

#f '(x) = lim_ (h-> 0) sin (h / 2) / (h / 2) * lim_ (h-> 0) cos (x + h /

#f '(x) = 1 * cos (x) = cos (x) #

Oleh itu, derivatif #f (x) = - sin (x) # adalah #f '(x) = - cos (x) #.