Mari G ialah kumpulan siklus dan G = 48. Bagaimanakah anda menemui semua subkumpulan G?

Jawapan:

Subkumpulan adalah semua kitaran, dengan pesanan membahagikan #48#

Penjelasan:

Semua subkumpulan kumpulan siklik adalah sendiri kitaran, dengan pesanan yang menjadi pembahagi perintah kumpulan.

Untuk melihat mengapa, katakanlah # G = <a> # adalah kitaran dengan perintah # N # dan #H sube G # adalah subkumpulan.

Jika # a ^ m di H # dan # a ^ n di H #, maka begitu juga # a ^ (pm + qn) # untuk mana-mana bilangan bulat #p, q #.

Jadi # a ^ k dalam H # di mana #k = GCF (m, n) # dan kedua-duanya # a ^ m # dan # a ^ n # ada di dalam # <a ^ k> #.

Khususnya, jika # a ^ k dalam H # dengan #GCF (k, N) = 1 # kemudian #H = <a> = G #.

Juga tidak bahawa jika #mn = N # kemudian # <a ^ m> # adalah subkumpulan bagi # G # dengan pesanan # n #.

Kita dapat menyimpulkan:

• # H # tidak mempunyai lebih daripada #1# penjana.
• Perintah # H # adalah faktor # N #.

Dalam contoh kami #N = 48 # dan subkumpulan adalah isomorfik kepada:

# C_1 #, # C_2 #, # C_3 #, # C_4 #, # C_6 #, # C_8 #, # C_12 #, # C_16 #, # C_24 #, # C_48 #

menjadi:

#< >#, # <a ^ 24> #, # <a ^ 16> #, # <a ^ 12> #, # <a ^ 8> #, # <a ^ 6> #, # <a ^ 4> #, # <a ^ 3> #, # <a ^ 2> #, # <a> #