Apakah mata ekstrema dan pelana f (x, y) = xy + 27 / x + 27 / y?

Jawapan:

Terdapat satu ekstrema di #(3,3,27)#

Kami ada:

# f (x, y) = xy + 27 / x + 27 / y #

Dan oleh itu kita memperoleh derivatif separa:

# (sebahagian f) / (parsial x) = y - 27 / x ^ 2 # dan # (separa f) / (separa y) = x - 27 / y ^ 2 #

Pada mata ekstrema atau pelana yang kami ada:

# (separa f) / (parsial x) = 0 # dan # (separa f) / (separa y) = 0 # serentak:

iaitu penyelesaian serentak:

# y - 27 / x ^ 2 = 0 => x ^ 2y = 27 #

# x - 27 / y ^ 2 = 0 => xy ^ 2 = 27 #

Mengurangkan persamaan ini memberikan:

# x ^ 2y-xy ^ 2 = 0 #

#:. xy (x-y) = 0 #

#:. x = 0; y = 0; x = y #

Kita boleh menghilangkan # x = 0; y = 0 # dan juga # x = y # adalah satu-satunya penyelesaian yang sah, yang membawa kepada:

# x ^ 3 = 27 => x = y = 3 #

Dan dengan # x = y = 3 #, kami ada:

# f (3,3) = 9 + 9 + 9 = 27 #

Oleh itu, hanya terdapat satu titik kritikal yang berlaku di (3,3,27) yang boleh dilihat di plot ini (yang merangkumi pesawat tangen)