Bagaimanakah anda menemui kawasan selari dengan rentetan?

Jawapan:

Untuk jajaran selari # ABCD # kawasan itu

#S = | (x_B-x_A) * (y_D-y_A) - (y_B-y_A) * (x_D-x_A) | #

Penjelasan:

Mari kita anggap bahawa jajaran kita # ABCD # ditakrifkan oleh koordinat empat simpulnya - # x_A, y_A #, # x_B, y_B #, # x_C, y_C #, # x_D, y_D #.

Untuk menentukan kawasan selari kami, kami memerlukan panjang pangkalannya # | AB | # dan ketinggiannya # | DH | # dari puncak # D # untuk menunjukkan # H # di sebelah # AB # (itu dia, #DH_ | _AB #).

Pertama sekali, untuk mempermudahkan tugas, mari kita pindahkan ke kedudukan ketika puncaknya # A # bertepatan dengan asal koordinat. Kawasan akan sama, tetapi pengiraan akan lebih mudah.

Oleh itu, kami akan melaksanakan transformasi koordinat berikut:

# U = x-x_A #

# V = y-y_A #

Kemudian (# U, V #) Koordinat semua titik akan menjadi:

#A U_A = 0, V_B = 0 #

#B U_B = x_B-x_A, V_B = y_B-y_A #

#C U_C = x_C-x_A, V_C = y_C-y_A #

#D U_D = x_D-x_A, V_D = y_D-y_A #

Paralelogram kami kini ditakrifkan oleh dua vektor:

# p = (U_B, V_B) # dan # q = (U_D, V_D) #

Tentukan panjang asas # AB # sebagai panjang vektor # p #:

# | AB | = sqrt (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) #

Panjang ketinggian # | DH | # boleh dinyatakan sebagai # | AD | * sin (/ _ BAD) #.

Panjangnya # AD # adalah panjang vektor # q #:

# | AD | = sqrt (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) #

Sudut # / _ BAD # boleh ditentukan dengan menggunakan dua ungkapan untuk skalar (dot) produk vektor # p # dan # q #:

# (p * q) = U_B * U_D + V_B * V_D = | p | * | q | * cos (/ _ BAD) #

dari mana

# cos ^ 2 (/ _ BAD) = (U_B * U_D + V_B * V_D) ^ 2 / (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) * (U_D ^ 2 + V_D ^

# sin ^ 2 (/ _ BAD) = 1-cos ^ 2 (/ _ BAD) = #

# = 1- (U_B * U_D + V_B * V_D) ^ 2 / (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) * (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) =

# = (U_B * V_D-V_B * U_D) ^ 2 / (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) * (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) #

Sekarang kita tahu semua komponen untuk mengira kawasan:

Asas # | AB | = sqrt (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) #:

Ketinggian # | DH | = sqrt (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) * | U_A * V_D-V_A * U_D | / sqrt (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) * (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) #

Kawasan itu adalah produk mereka:

#S = | AB | * | DH | = | U_B * V_D-V_B * U_D | #

Dari segi koordinat asal, ia kelihatan seperti ini:

#S = | (x_B-x_A) * (y_D-y_A) - (y_B-y_A) * (x_D-x_A) | #

Jawapan:

perbincangan lain

Penjelasan:

Bukti geometri

Memandangkan angka itu

kita dapat dengan mudah menetapkan rumus untuk pengiraan kawasan suatu parallelogram ABCD, apabila mana-mana tiga titik (katakan A, B, D) diketahui.

Oleh kerana diagonal BD membahagi jajaran selari menjadi dua segi tiga kongruen.

Kawasan selari ABCD

= 2 kawasan segi tiga ABD

= 2 kawasan trapezium BAPQ + kawasan perangkap BQRD - kawasan perangkap DAPR

=2# 1/2 (AP + BQ) PQ + 1/2 (BQ + DR) QR-1/2 (AP + DR) PR #

= # (Y_A + Y_B) (X_B-X_A) + (Y_B + Y_D) (X_D-X_B) - (Y_A + Y_D) (X_D-X_A) #

=# Y_AX_B + cancel (Y_BX_B) -cancel (Y_AX_A) -Y_BX_A + Y_BX_D + cancel (Y_DX_D) -cancel (Y_BX_B) -Y_AX_D-cancel (Y_DX_D) + cancel (Y_AX_A)

=#Y_A (X_B_X_D) + Y_B (X_D-XA) + Y_D (X_A-X_B) #

Formula ini akan memberikan kawasan selari.

Bukti yang mengingati vektor

Ia juga boleh dititikberatkan #vec (AB) # dan# vec (AD) #

Sekarang

Vektor kedudukan titik A w.r, t asal O, #vec (OA) = X_Ahati + Y_Ahatj #

Vektor kedudukan titik B w, r asal O, #vec (OB) = X_Bhati + Y_Bhatj #

Vektor kedudukan titik D w.r, t asal O, #vec (OD) = X_Dhati + Y_Dhatj #

Sekarang

Kawasan ABCD Parallelogram

# = Pangkalan (AD) * Ketinggian (BE) = AD * h #

# = AD * ABsintheta = | vec (AD) Xvec (AB) | #

Sekali lagi

#vec (AD) = vec (OD) -vec (OA) = (X_D-X_A) hati + (Y_D-Y_A) hatj #

#vec (AB) = vec (OB) -vec (OA) = (X_B-X_A) hati + (Y_B-Y_A) hatj #

#vec (AD) #X#vec (AB) = (X_D-X_A) (Y_B-Y_A) - (X_B-X_A) (Y_D-Y_A) hatk #

Kawasan = # | vec (AD) #X#vec (AB) | #

=# | Y_BX_D-Y_BX_A-Y_AX_D + membatalkan (Y_AX_A) -Y_DX_B + Y_DX_A + Y_AX_B-cancel (Y_AX_A) | #

=# | Y_BX_D-Y_BX_A-Y_AX_D-Y_DX_B + Y_DX_A + Y_AX_B | #

=# | Y_A (X_B_X_D) + Y_B (X_D-XA) + Y_D (X_A-X_B) | #

Oleh itu kita mempunyai formula yang sama

Asas segi tiga kawasan tertentu berbeza dengan ketinggian sebagai ketinggian. Segitiga mempunyai asas 18cm dan ketinggian 10cm. Bagaimanakah anda menemui ketinggian segi tiga kawasan yang sama dan dengan asas 15cm?

Ketinggian = 12 cm Kawasan segitiga dapat ditentukan dengan luas persamaan = 1/2 * base * ketinggian Cari area segitiga pertama, dengan menggantikan ukuran segitiga ke dalam persamaan. Areatriangle = 1/2 * 18 * 10 = 90cm ^ 2 Biarkan ketinggian segitiga kedua = x. Jadi persamaan kawasan untuk segitiga kedua = 1/2 * 15 * x Oleh kerana kawasan adalah sama, 90 = 1/2 * 15 * x Times kedua belah pihak dengan 2. 180 = 15x x = 12

Dua rentetan rentetan bulatan dengan panjang 8 dan 10 berfungsi sebagai pangkal trapezoid yang tertera dalam bulatan. Sekiranya panjang jejari bulatan adalah 12, apakah kawasan yang paling besar seperti trapezoid yang tertera?

72 * sqrt (2) + 9 * sqrt (119) ~ = 200.002 Pertimbangkan Figs. 1 dan 2 Secara skematik, kita boleh memasukkan ABCD paralelogram dalam bulatan, dan dengan syarat bahawa AB dan CD adalah akord lingkaran, dalam cara sama ada angka 1 atau angka 2. Keadaan yang harus dibentuk AB dan CD kord bulatan menunjukkan bahawa trapezoid bertulis mestilah satu isosceles kerana diagonal trapezoid (AC dan CD) adalah sama kerana A hat BD = B hat AC = B hatD C = CD hat dan garis tegak lurus ke AB dan CD yang lewat melalui pusat E membelah chords ini (ini bermakna AF = BF dan CG = DG dan segitiga yang dibentuk oleh persimpangan diagonal dengan

Bagaimanakah anda menemui semua titik pada lengkung x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 di mana garis tangen selari dengan paksi-x, dan titik di mana garis tangen selari dengan paksi-y?

Garis tangen selari dengan paksi x apabila cerun (jadi dy / dx) adalah sifar dan ia selari dengan paksi y apabila cerun (sekali lagi, dy / dx) pergi ke oo atau -oo Kita akan mula dengan mencari dy / dx: x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 d / dx (x ^ 2 + xy + y ^ 2) = d / dx (7) 2x + 1y + xdy / dx + 2y dy / dx = dy / dx = - (2x + y) / (x + 2y) Sekarang, dy / dx = 0 apabila pengimulator ialah 0, dengan syarat bahawa ini juga tidak menjadikan penyebut 0. 2x + y = 0 apabila y = -2x Kita sekarang, dua persamaan: x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 y = -2x Selesaikan (dengan menggantikannya) x ^ 2 + x (-2x) + (-2x) ^ 2 = 7 x ^ 2 -2x ^ 2 + 4x ^ 2 = 7 3x