Bagaimanakah anda menemui kawasan selari dengan rentetan?

Jawapan:

Untuk jajaran selari # ABCD # kawasan itu

#S = | (x_B-x_A) * (y_D-y_A) - (y_B-y_A) * (x_D-x_A) | #

Penjelasan:

Mari kita anggap bahawa jajaran kita # ABCD # ditakrifkan oleh koordinat empat simpulnya - # x_A, y_A #, # x_B, y_B #, # x_C, y_C #, # x_D, y_D #.

Untuk menentukan kawasan selari kami, kami memerlukan panjang pangkalannya # | AB | # dan ketinggiannya # | DH | # dari puncak # D # untuk menunjukkan # H # di sebelah # AB # (itu dia, #DH_ | _AB #).

Pertama sekali, untuk mempermudahkan tugas, mari kita pindahkan ke kedudukan ketika puncaknya # A # bertepatan dengan asal koordinat. Kawasan akan sama, tetapi pengiraan akan lebih mudah.

Oleh itu, kami akan melaksanakan transformasi koordinat berikut:

# U = x-x_A #

# V = y-y_A #

Kemudian (# U, V #) Koordinat semua titik akan menjadi:

#A U_A = 0, V_B = 0 #

#B U_B = x_B-x_A, V_B = y_B-y_A #

#C U_C = x_C-x_A, V_C = y_C-y_A #

#D U_D = x_D-x_A, V_D = y_D-y_A #

Paralelogram kami kini ditakrifkan oleh dua vektor:

# p = (U_B, V_B) # dan # q = (U_D, V_D) #

Tentukan panjang asas # AB # sebagai panjang vektor # p #:

# | AB | = sqrt (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) #

Panjang ketinggian # | DH | # boleh dinyatakan sebagai # | AD | * sin (/ _ BAD) #.

Panjangnya # AD # adalah panjang vektor # q #:

# | AD | = sqrt (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) #

Sudut # / _ BAD # boleh ditentukan dengan menggunakan dua ungkapan untuk skalar (dot) produk vektor # p # dan # q #:

# (p * q) = U_B * U_D + V_B * V_D = | p | * | q | * cos (/ _ BAD) #

dari mana

# cos ^ 2 (/ _ BAD) = (U_B * U_D + V_B * V_D) ^ 2 / (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) * (U_D ^ 2 + V_D ^

# sin ^ 2 (/ _ BAD) = 1-cos ^ 2 (/ _ BAD) = #

# = 1- (U_B * U_D + V_B * V_D) ^ 2 / (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) * (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) =

# = (U_B * V_D-V_B * U_D) ^ 2 / (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) * (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) #

Sekarang kita tahu semua komponen untuk mengira kawasan:

Asas # | AB | = sqrt (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) #:

Ketinggian # | DH | = sqrt (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) * | U_A * V_D-V_A * U_D | / sqrt (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) * (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) #

Kawasan itu adalah produk mereka:

#S = | AB | * | DH | = | U_B * V_D-V_B * U_D | #

Dari segi koordinat asal, ia kelihatan seperti ini:

#S = | (x_B-x_A) * (y_D-y_A) - (y_B-y_A) * (x_D-x_A) | #

Jawapan:

perbincangan lain

Penjelasan:

Bukti geometri

Memandangkan angka itu

kita dapat dengan mudah menetapkan rumus untuk pengiraan kawasan suatu parallelogram ABCD, apabila mana-mana tiga titik (katakan A, B, D) diketahui.

Oleh kerana diagonal BD membahagi jajaran selari menjadi dua segi tiga kongruen.

Kawasan selari ABCD

= 2 kawasan segi tiga ABD

= 2 kawasan trapezium BAPQ + kawasan perangkap BQRD - kawasan perangkap DAPR

=2# 1/2 (AP + BQ) PQ + 1/2 (BQ + DR) QR-1/2 (AP + DR) PR #

= # (Y_A + Y_B) (X_B-X_A) + (Y_B + Y_D) (X_D-X_B) - (Y_A + Y_D) (X_D-X_A) #

=# Y_AX_B + cancel (Y_BX_B) -cancel (Y_AX_A) -Y_BX_A + Y_BX_D + cancel (Y_DX_D) -cancel (Y_BX_B) -Y_AX_D-cancel (Y_DX_D) + cancel (Y_AX_A)

=#Y_A (X_B_X_D) + Y_B (X_D-XA) + Y_D (X_A-X_B) #

Formula ini akan memberikan kawasan selari.

Bukti yang mengingati vektor

Ia juga boleh dititikberatkan #vec (AB) # dan# vec (AD) #

Sekarang

Vektor kedudukan titik A w.r, t asal O, #vec (OA) = X_Ahati + Y_Ahatj #

Vektor kedudukan titik B w, r asal O, #vec (OB) = X_Bhati + Y_Bhatj #

Vektor kedudukan titik D w.r, t asal O, #vec (OD) = X_Dhati + Y_Dhatj #

Sekarang

Kawasan ABCD Parallelogram

# = Pangkalan (AD) * Ketinggian (BE) = AD * h #

# = AD * ABsintheta = | vec (AD) Xvec (AB) | #

Sekali lagi

#vec (AD) = vec (OD) -vec (OA) = (X_D-X_A) hati + (Y_D-Y_A) hatj #

#vec (AB) = vec (OB) -vec (OA) = (X_B-X_A) hati + (Y_B-Y_A) hatj #

#vec (AD) #X#vec (AB) = (X_D-X_A) (Y_B-Y_A) - (X_B-X_A) (Y_D-Y_A) hatk #

Kawasan = # | vec (AD) #X#vec (AB) | #

=# | Y_BX_D-Y_BX_A-Y_AX_D + membatalkan (Y_AX_A) -Y_DX_B + Y_DX_A + Y_AX_B-cancel (Y_AX_A) | #

=# | Y_BX_D-Y_BX_A-Y_AX_D-Y_DX_B + Y_DX_A + Y_AX_B | #

=# | Y_BX_D-Y_BX_A-Y_AX_D-Y_DX_B + Y_DX_A + Y_AX_B | #

=# | Y_A (X_B_X_D) + Y_B (X_D-XA) + Y_D (X_A-X_B) | #

Oleh itu kita mempunyai formula yang sama