Apakah persamaan garis yang normal dengan lengkung kutub f (theta) = - 5theta- sin ((3theta) / 2-pi / 3) + tan ((theta) / 2-pi / 3) di theta = pi?

Jawapan:

Baris ini #y = (6 - 60pi + 4sqrt (3)) / (9sqrt (3) -52) x + ((sqrt (3) (1 - 10pi) #

Penjelasan:

Raksasa persamaan ini diperoleh melalui proses yang agak panjang. Saya akan terlebih dahulu menggariskan langkah-langkah yang akan dilakukan oleh derivasi itu dan kemudian melaksanakan langkah-langkah tersebut.

Kami diberi fungsi dalam koordinat kutub, #f (theta) #. Kita boleh mengambil derivatif, #f '(theta) #, tetapi untuk benar-benar mencari garis dalam koordinat cartesian, kita perlu # dy / dx #.

Kita boleh mencari # dy / dx # dengan menggunakan persamaan berikut:

f (theta) cos (theta)) / (f '(theta) cos (theta) - f (theta) sin (theta)) #

Kemudian kita akan pasang cerun itu ke dalam bentuk garis kartesian standard:

#y = mx + b #

Dan masukkan koordinat polar yang dikonversi cartesian ke titik minat kami:

#x = f (theta) cos (theta) #

#y = f (theta) sin (theta) #

Beberapa perkara yang sepatutnya jelas dan akan menjimatkan masa kita ke garisan. Kami mengambil garis tangen untuk titik itu #theta = pi #. Ini bermakna itu #sin (theta) = 0 # jadi …

1) Persamaan kami untuk # dy / dx # sebenarnya akan:

# dy / dx = f (pi) / (f '(pi)) #

2) Persamaan kami untuk koordinat cartesian dari titik kami akan menjadi:

#x = -f (theta) #

#y = 0 #

Bermula untuk menyelesaikan masalah ini, maka, urutan pertama perniagaan kami adalah mencari #f '(theta) #. Ia tidak sukar, hanya tiga derivatif mudah dengan peraturan rantai yang dikenakan kepada dua:

#f '(theta) = -5 - 3/2 cos ((3pi) / 2 - pi / 3) + 1/2 sec ^ 2 (theta / 2 - pi / 3)

Sekarang kita mahu tahu #f (pi) #:

#f (pi) = -5pi - sin ((7pi) / 6) + tan (pi / 6) #

# = -5pi - 1/2 + 1 / sqrt3 #

# = (sqrt3 (1 - 10pi) + 2) / (2sqrt3) #

Dan #f '(pi) #…

#f '(pi) = -5 - 3/2 cos ((7pi) / 6) + 1/2 sec ^ 2 (pi / 6) #

# = -5 + (3sqrt3) / 4 + 2/3 #

# = (9sqrt3 - 52) / 12 #

Dengan ini, kami bersedia untuk menentukan cerun kami:

# dy / dx = f (pi) / (f '(pi)) #

# = (sqrt3 (1 - 10pi) + 2) / (2sqrt3) * 12 / (9sqrt3 - 52) #

# = (6 (1-10pi) + 4sqrt3) / (9sqrt3 - 52) #

Kita boleh pasang ini sebagai # m # dalam #y = mx + b #. Ingatlah bahawa kami sebelum ini menentukan bahawa # y = 0 # dan #x = -f (theta) #:

# 0 = - ((6 (1-10pi) + 4sqrt3) / (9sqrt3 - 52)) ((sqrt3 (1 - 10pi) + 2) / (2sqrt3)

# 0 = - ((3 (1-10pi) + 2sqrt3) / (9sqrt3 - 52)) ((sqrt3 (1 - 10pi) + 2) / (sqrt3)

# 0 = - ((sqrt3 (1-10pi) + 2) / (9sqrt3 - 52)) (sqrt3 (1 - 10pi) + 2) + b #

#b = ((sqrt3 (1 - 10pi) + 2) ^ 2) / (9sqrt3 - 52) #

Kita boleh menggabungkan apa yang telah ditentukan sebelumnya # m # dengan yang baru kita tentukan # b # untuk memberi persamaan untuk garis:

#y = (6 - 60pi + 4sqrt (3)) / (9sqrt (3) -52) x + ((sqrt (3) (1 - 10pi) #