Apakah f (x) = int e ^ xcosx-tan ^ 3x + sinx dx jika f (pi / 6) = 1?

Jawapan:

(x) + cos (x)) - ln | cos (x) | -1 / 2sec ^ 2 (x) -cos (x) + 5/3 + sqrt3 / 2- (1 / 4 + sqrt3 / 4) e ^ (pi / 6) + ln (sqrt3 / 2) #

Penjelasan:

Kita mulakan dengan memisahkan integral menjadi tiga:

#int e ^ xcos (x) dx-int tan ^ 3 (x) dx + int sin (x) dx =

# = int e ^ xcos (x) dx-int tan ^ 3 (x) dx-cos (x) #

Saya akan memanggil integral kiri Integral 1 dan kanan Integral 2

Integral 1

Di sini kita memerlukan integrasi oleh bahagian-bahagian dan sedikit helah. Formula untuk integrasi oleh bahagian adalah:

#int f (x) g '(x) dx = f (x) g (x) -int f' (x) g (x)

Dalam kes ini, saya akan membiarkannya #f (x) = e ^ x # dan #g '(x) = cos (x) #. Kami mendapatnya

#f '(x) = e ^ x # dan #g (x) = sin (x) #.

Ini menjadikan kita terintegrasi:

#int e ^ xcos (x) dx = e ^ xsin (x) -int e ^ xsin (x) dx #

Sekarang kita boleh memohon integrasi dengan bahagian lagi, tetapi kali ini dengan #g '(x) = sin (x) #:

#int e ^ xcos (x) dx = e ^ xsin (x) - (- e ^ xcos (x) - (- int e ^ xcos (x) dx)

#int e ^ xcos (x) dx = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) -int e ^ xcos (x) dx #

Sekarang kita boleh menambah integral kepada kedua-dua belah pihak, dengan memberikan:

# 2int e ^ xcos (x) dx = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) #

#int e ^ xcos (x) dx = 1/2 (e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x)) + C =

# = e ^ x / 2 (sin (x) + cos (x)) + C #

Integral 2

Kita boleh menggunakan identiti terlebih dahulu:

#tan (theta) = sin (theta) / cos (theta) #

Ini memberi:

(x) dx = int sin ^ 3 (x) / cos ^ 3 (x) dx = int (sin (x) sin ^ 2 (x)) dx #

Kini kita boleh menggunakan identiti pythagorean:

# sin ^ 2 (theta) = 1-cos ^ 2 (theta) #

#int (sin (x) (1-cos ^ 2 (x))) / cos ^ 3 (x) dx #

Sekarang kita boleh memperkenalkan penggantian u dengan # u = cos (x) #. Kami kemudiannya membahagi dengan terbitan, # -sin (x) # untuk menyatukan berkenaan dengan # u #:

# -int (membatalkan (sin (x)) (1-cos ^ 2 (x))) / (membatalkan (sin (x) 2) / u ^ 3 du = int u ^ 2 / u ^ 3-1 / u ^ 3 du = #

# = int 1 / u-1 / u ^ 3 du = ln | u | + 1 / (2u ^ 2) + C = ln | cos (x) | + 1 / (2cos ^ 2 (x) C #

Melengkapkan integral asal

Sekarang bahawa kita tahu Integral 1 dan Integral 2, kita boleh memasangkannya kembali ke integral asal dan memudahkan untuk mendapatkan jawapan terakhir:

(x) + cos (x)) - ln | cos (x) | -1 / 2sec ^ 2 (x) -cos (x) + C #

Sekarang kita tahu antiderivatif, kita boleh selesaikan pemalar:

#f (pi / 6) = 1 #

(pi / 6) / 2 (sin (pi / 6) + cos (pi / 6)) - ln | cos (pi / 6) | -1 / 2sec ^ 2 (pi / 6) / 6) + C = 1 #

2/3-sqrt (3) / 2 + 1/2 (1/2 + sqrt (3) / 2) e ^ (pi / 6) -ln (sqrt (3) / 2)

# C = 1 + 2/3 + sqrt3 / 2- (1/4 + sqrt3 / 4) e ^ (pi / 6) + ln (sqrt3 /

# C = 5/3 + sqrt3 / 2- (1/4 + sqrt3 / 4) e ^ (pi / 6) + ln (sqrt3 / 2)

Ini memberi fungsi kami:

(x) + cos (x)) - ln | cos (x) | -1 / 2sec ^ 2 (x) -cos (x) + 5/3 + sqrt3 / 2- (1 / 4 + sqrt3 / 4) e ^ (pi / 6) + ln (sqrt3 / 2) #