Bagaimana untuk memilih dua nombor yang mana jumlah akar kuadratnya adalah minimum, mengetahui bahawa produk dari kedua-dua nombor tersebut adalah?

Jawapan:

# x = y = sqrt (a) #

Penjelasan:

# x * y = a => x * y - a = 0 #

#f (x, y) = sqrt (x) + sqrt (y) "adalah minimum" #

# "Kami boleh bekerjasama dengan pengganda Lagrange L:" #

#f (x, y, L) = sqrt (x) + sqrt (y) + L (x * y-a) #

# "Menjana hasil:" #

# {df} / dx = 1 / (2 * sqrt (x)) + L * y = 0 #

# {df} / dy = 1 / (2 * sqrt (y)) + L * x = 0 #

# {df} / {dL} = x * y-a = 0 #

# => y = a / x #

# => {df} / dy = 1 / (2 * sqrt (a / x)) + L * x = 0 #

# = sqrt (x) / (2 * sqrt (a)) + L * x = 0 #

# => {df} / dx = 1 / (2 * sqrt (x)) + L * a / x = 0 #

# => sqrt (x) / 2 + L * a = 0 "(selepas mendarab dengan x"! = "0)" #

# => L = - sqrt (x) / (2 * a) #

# => sqrt (x) / (2 * sqrt (a)) - sqrt (x) * x / (2 * a) = 0 #

# => 1 / (2 * sqrt (a)) - x / (2 * a) = 0 #

# => x = sqrt (a) #

# => y = sqrt (a) #

# => L = -a ^ (1/4) / (2 * a) <0 => "MINIMUM" #

# "Sekarang kita masih perlu menyemak x = 0." #

# "Ini mustahil sebagai x * y = 0 maka." #

# "Jadi kami mempunyai penyelesaian unik" #

# x = y = sqrt (a) #

Jawapan:

Saya akan cuba membawa anda melalui kaedah penyelesaian di bawah.

Penjelasan:

Apa yang kita cari?

Dua nombor. Mari kita beri nama mereka, # x # dan # y #.

Baca semula soalan ini.

Kami mahu menjadikan jumlah akar persegi minimum.

Ini memberitahu kita dua perkara

(1) kedua-dua nombor tidak negatif (untuk mengelakkan imaginasi)

(2) Kami berminat dengan nilai # sqrtx + sqrty #

Baca semula soalan ini.

Kami juga diberitahu bahawa produk # x # dan # y # adalah # a #.

Siapa yang memilih # a #?

Secara umum, jika latihan mengatakan sesuatu # a # atau # b # atau # c #, kami mengambilnya sebagai pemalar yang diberikan oleh orang lain.

Oleh itu, kita mungkin diberitahu "hasil daripada # x # dan # y # adalah #11#'

atau "hasil daripada # x # dan # y # adalah #124#'.

Kita harus selesaikan semua ini sekaligus dengan mengatakan # xy = a # untuk beberapa malar # a #.

Jadi, kita mahu buat # sqrtx + sqrty # sekecil mungkin # xy = a # untuk beberapa malar # a #.

Ini kelihatan seperti masalah pengoptimuman dan ia adalah satu. Jadi saya mahu fungsi satu pembolehubah untuk meminimumkan.

# sqrtx + sqrty # mempunyai dua pembolehubah, # x # dan # y #

# xy = a # juga mempunyai dua pemboleh ubah, # x # dan # y # (ingat # a # adalah malar)

Jadi #y = a / x #

Sekarang kita mahu meminimumkan:

#f (x) = sqrtx + sqrt (a / x) = sqrtx + sqrta / sqrtx #

Cari derivatif, kemudian nombor kritikal dan uji nombor kritikal. Selesai mencari # y #.

#f '(x) = (x-sqrta) / (2x ^ (3/2)) #

Kritikal # sqrta #

#f '(x) <0 # untuk #x <sqrta # dan #f '(x)> 0 # untuk #x> sqrta #, jadi #f (sqrta) # adalah minimum.

#x = sqrta # dan #y = a / x = sqrta #

Jawapan:

# 2 root (4) (a) #

Penjelasan:

Kita tahu bahawa untuk #x_i> 0 # kita ada

# (x_1 x_2 cdots x_n) ^ { frac {1} {n}} le frac {x_1 + x_2 + cdots + x_n} {n} #

kemudian

# x_1 + x_2 ge 2 sqrt (x_1 x_2) # kemudian

# sqrtx_1 + sqrt x_2 ge 2 root (4) (x_1x_2) #

tetapi # x_1x_2 = a # kemudian

# sqrtx_1 + sqrt x_2 ge 2 root (4) (a) #