Jika f (x) = x tan ^ -1then f (1) adalah apa?

Jawapan:

# f (1) # di mana #f (x) = x arctan x #.

#f (1) = (1) (arctan (1)) = arctan 1 = pi / 4 #

Penjelasan:

Saya akan menganggap soalan itu #f (1) # di mana #f (x) = x arctan x #.

#f (1) = (1) (arctan (1)) = arctan 1 #

Biasanya saya merawatnya # arctan # sebagai multivalued. Tetapi di sini dengan notasi fungsi yang jelas #f (x) # Saya akan mengatakan bahawa kita mahu nilai utama tangen songsang. Sudut dengan tangen 1 pada kuadran pertama adalah # 45 ^ circ # atau # pi / 4 #:

#f (1) = (1) (arctan (1)) = arctan 1 = pi / 4 #

Itulah akhir. Tapi mari letakkan soalan itu, dan tumpukan pada apa #arctan t # benar-benar bermakna.

Saya biasanya berfikir #tan ^ -1 (t) # atau setara (dan saya fikir notasi yang lebih baik) #arctan (t) # sebagai ungkapan multivalued. Fungsi "fungsi" tidak benar-benar berfungsi, kerana ia adalah kebalikan dari sesuatu yang berkala, yang tidak boleh benar-benar berlawanan dengan seluruh domainnya.

Ini benar-benar mengelirukan untuk pelajar dan guru. Secara tiba-tiba kita mempunyai perkara-perkara yang kelihatan seperti fungsi yang tidak benar-benar berfungsi. Mereka agak tergelincir di bawah radar. Peraturan baru diperlukan untuk menangani mereka, tetapi mereka tidak pernah dinyatakan dengan jelas. Matematik mula kabur apabila tidak sepatutnya.

# x = arctan t # paling baik sebagai penyelesaiannya #tan x = t. # Terdapat bilangan terhitung yang tidak terhingga, satu setiap tempoh. Tangent mempunyai tempoh # pi # jadi penyelesaiannya # pi # selain itu, di mana #pi k # berasal dari, integer # k #.

Saya biasanya menulis nilai utama tangen songsang seperti Arctan, dengan modal A. Malangnya Socratic terus "membetulkan" itu. Saya akan fudge di sini:

#t = tan x # mempunyai penyelesaian

#x = arctan t = teks {Arc} teks {tan} (t) + pi k quad # untuk integer # k #.