Cari kawasan rantau yang berlorek?

Jawapan:

Sila lihat di bawah.

Penjelasan:

Ketika pertama kali kita belajar untuk mencari kawasan dengan integrasi, kita mengambil persegi panjang wakil secara vertikal.

Rectangles mempunyai asas # dx # (perubahan kecil dalam # x #) dan tinggi sama dengan yang lebih tinggi # y # (yang di atas kurva) kurang daripada yang kurang # y # nilai (yang pada kurva bawah). Kami kemudian menggabungkan dari yang terkecil # x # nilai kepada yang terbesar # x # nilai.

Untuk masalah baru ini, kita boleh menggunakan dua pertimbangan sedemikian (Lihat jawapan oleh Jim S), tetapi sangat berharga untuk belajar untuk mengubah pemikiran kita #90^@#.

Kami akan mengambil segiempat tepat wakilnya.

Rectangles mempunyai ketinggian # dy # (perubahan kecil dalam # y #) dan asas sama dengan yang lebih besar # x # (yang paling teruk) kurang daripada yang kurang # x # nilai (yang pada kurva paling kiri). Kami kemudian menggabungkan dari yang terkecil # y # nilai kepada yang terbesar # y # nilai.

Perhatikan dualitas

# {:("menegak", iff, "mendatar"), (dx, iff, dy), ("atas", iff, "paling kanan"), ("lebih rendah", iff, "paling kiri" iff, y):} #

Ungkapan "dari yang terkecil # x # nilai kepada yang terbesar # x # nilai. "menunjukkan bahawa kita menyatukan kiri ke kanan. (Ke arah peningkatan # x # nilai-nilai.)

Ungkapan "dari yang terkecil # y # nilai kepada yang terbesar # y # nilai. "menunjukkan bahawa kita menyatukan bahagian bawah ke atas. (Dalam arah meningkat # y # nilai-nilai.)

Berikut adalah gambar rantau ini dengan segi empat tepat kecil yang ditunjukkan:

Kawasan ini

# int_1 ^ 2 (y-1 / y ^ 2) dy = 1 #

Jawapan:

Kawasan rantau yang berlorek adalah # 1m ^ 2 #

Penjelasan:

# x = 1 / y ^ 2 #

# y ^ 2 = 1 / x #

# y = sqrtx / x # (kita boleh lihat dari graf)

# sqrtx / x = x # #<=># # x ^ 2 = sqrtx # #<=>#

# x ^ 4-x = 0 # #<=># # x (x ^ 3-1) = 0 # #<=># # x = 1 # (kita juga boleh lihat dari graf)

Salah satu daripada banyak cara kawasan rantau yang berlorek boleh dinyatakan sebagai kawasan segitiga # AhatOB = Ω # tidak termasuk kawasan cyan yang saya akan panggil #color (cyan) (Ω_3) #

Biarkan #Ω_1# menjadi kawasan hitam yang ditunjukkan dalam graf dan #color (green) (Ω_2) # kawasan hijau yang ditunjukkan dalam graf.

Kawasan segitiga kecil # ChatAD = # #color (green) (Ω_2) # akan jadi:

• #color (green) (Ω_2) = ## 1/2 * 1 * 1 = 1 / 2m ^ 2 #

# sqrtx / x = 2 # #<=># # sqrtx = 2x # #<=># # x = 4x ^ 2 #

#<=># # x = 1/4 #

Kawasan #Ω_1# akan jadi:

#int_ (1/4) ^ 1 (2-sqrtx / x) dx = 2 x _ (1/4) ^ 1-2 sqrtx _ (1/4) ^ 1 =

# 2 (1-1 / 4) -2 (1-sqrt (1/4)) = 6 / 4-2 (1-1 / 2) #

# = 3 / 2-1 = 1 / 2m ^ 2 #

Akibatnya, kawasan yang berlorek akan

• #Ω_1## + warna (hijau) (Ω_2) ## = 1/2 + 1/2 = 1m ^ 2 #