Bagaimana anda mencari had (8x-14) / (sqrt (13x + 49x ^ 2)) sebagai x mendekati oo?

Jawapan:

Buat sedikit pemfaktoran dan membatalkan untuk mendapatkannya #lim_ (x-> oo) (8x-14) / (sqrt (13x + 49x ^ 2)) = 8/7 #.

Penjelasan:

Pada had infiniti, strategi umum adalah untuk memanfaatkan kenyataan itu #lim_ (x-> oo) 1 / x = 0 #. Biasanya ia bermakna pengkhianatan # x #, yang akan kami lakukan di sini.

Mulakan dengan pemfaktoran a # x # keluar dari pengangka dan a # x ^ 2 # daripada penyebut:

# (x (8-14 / x)) / (sqrt (x ^ 2 (13 / x + 49)) #

# = (x (8-14 / x)) / (sqrt (x ^ 2) sqrt (13 / x + 49)) #

Isu kini dengan #sqrt (x ^ 2) #. Ia bersamaan dengan #abs (x) #, yang merupakan fungsi piecewise:

#abs (x) = {(x, "for", x> 0), (- x, "for", x <0):} #

Oleh kerana ini adalah had pada infiniti positif (#x> 0 #), kami akan menggantikannya #sqrt (x ^ 2) # dengan # x #:

# = (x (8-14 / x)) / (xsqrt (13 / x + 49)) #

Sekarang kita boleh membatalkannya # x #s:

# = (8-14 / x) / (sqrt (13 / x + 49)) #

Dan akhirnya melihat apa yang berlaku sebagai # x # pergi ke # oo #:

# = (8-14 / oo) / (sqrt (13 / oo + 49)) #

Kerana #lim_ (x-> oo) 1 / x = 0 #, ini sama dengan:

# (8-0) / (sqrt (0 + 49)) #

# = 8 / sqrt (49) #

#=8/7#