Apakah integral (ln (xe ^ x)) / x?

Jawapan:

# int # #ln (xe ^ x) / (x) dx = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C #

Penjelasan:

Kami diberikan:

# int # #ln (xe ^ x) / (x) dx #

Menggunakan #ln (ab) = ln (a) + ln (b) #:

# = int # # (ln (x) + ln (e ^ x)) / (x) dx #

Menggunakan #ln (a ^ b) = bln (a) #:

# = int # # (ln (x) + xln (e)) / (x) dx #

Menggunakan #ln (e) = 1 #:

# = int # # (ln (x) + x) / (x) dx #

Memisahkan pecahan (# x / x = 1 #):

# = int # # (ln (x) / x + 1) dx #

Mengasingkan integral yang disimpulkan:

# = int # #ln (x) / xdx + int dx #

Integral kedua adalah semata-mata # x + C #, di mana # C # adalah pemalar sewenang-wenangnya. Yang penting, kita gunakan # u #-puluhan:

Biarkan #u equiv ln (x) #, dengan itu #du = 1 / x dx #

Menggunakan # u #-puluhan:

# = int udu + x + C #

Mengintegrasikan (pemalar sewenang-wenang # C # boleh menyerap pemalar yang sewenang-wenang dari integral tak terbatas yang pertama:

# = u ^ 2/2 + x + C #

Penggantian semula dari segi # x #:

# = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C #

Jawapan:

#int ln (xe ^ x) / x dx = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C #

Penjelasan:

Kami mulakan dengan menggunakan identiti logaritma berikut:

#ln (ab) = ln (a) + ln (b) #

Memohon ini kepada integral, kami dapat:

#int (ln (xe ^ x)) / x dx = int ln (x) / x + ln (e ^ x) / x dx =

# = int ln (x) / x + x / x dx = int ln (x) / x + 1 dx = int ln (x) / x

Untuk menilai integral yang tersisa, kita menggunakan integrasi oleh bahagian-bahagian:

#int f (x) g '(x) dx = f (x) g (x) -int f' (x) g (x)

Saya akan biarkan #f (x) = ln (x) # dan #g '(x) = 1 / x #. Kita kemudian dapat mengira bahawa:

#f '(x) = 1 / x # dan #g (x) = ln (x) #

Kami kemudiannya boleh menggunakan integrasi dengan formula bahagian untuk mendapatkan:

#int ln (x) / x dx = ln (x) * ln (x) -int ln (x) / x dx #

Oleh kerana kita mempunyai integral di kedua-dua belah tanda bersamaan, kita boleh menyelesaikannya seperti persamaan:

# 2int ln (x) / x dx = ln ^ 2 (x) #

#int ln (x) / x dx = ln ^ 2 (x) / 2 + C #

Menggulir kembali ke ungkapan asal, kami mendapat jawapan terakhir kami:

#int ln (xe ^ x) / x dx = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C #