Soalan # 53a2b + Contoh

Jawapan:

Takrif jarak ini tidak berubah di bawah perubahan kerangka inersia, dan dengan itu mempunyai makna fizikal.

Penjelasan:

Ruang Minkowski dibina untuk menjadi ruang 4 dimensi dengan koordinat parameter # (x_0, x_1, x_2, x_3, x_4) #, yang biasanya kita katakan # x_0 = ct #. Pada teras relativiti khas, kita mempunyai transformasi Lorentz, yang merupakan transformasi dari satu kerangka inersia kepada yang lain yang meninggalkan kelajuan invarian cahaya. Saya tidak akan masuk ke dalam transformasi Lorentz sepenuhnya, jika anda mahu saya menjelaskannya, tanya saja dan saya akan masuk lebih terperinci.

Yang penting adalah perkara berikut. Apabila kita melihat ruang Euclidian (ruang di mana kita mempunyai definisi biasa panjang yang kita digunakan untuk # ds ^ 2 = dx_1 ^ 2 + dx_2 ^ 2 + dx_3 ^ 2 #), kita mempunyai transformasi tertentu; putaran spasial, terjemahan dan pencerminan. Jika kita mengira jarak antara dua titik dalam pelbagai bingkai rujukan yang dihubungkan dengan transformasi ini, kita dapati jarak menjadi sama. Ini bermakna bahawa jarak Euclidian adalah invarian di bawah transformasi ini.

Kini kami memperluaskan tanggapan ini kepada ruang 4 dimensi. Sebelum teori Einsteins relativiti khas, kita menghubungkan bingkai inersia oleh transformasi Galilei, yang baru saja menggantikan koordinat spatial # x_i # oleh # x_i-v_it # untuk #iin {1,2,3} # di mana # v_i # adalah halaju pemerhati dalam # i # arah berbanding dengan bingkai asal. Transformasi ini tidak meninggalkan kelajuan invarian cahaya, tetapi ia meninggalkan jarak yang disebabkan oleh elemen baris # ds ^ 2 = dx_0 ^ 2 + dx_1 ^ 2 + dx_2 ^ 2 + dx_3 ^ 2 #, semata-mata kerana tidak ada perubahan kepada koordinat masa, jadi masa adalah mutlak.

Walau bagaimanapun, transformasi Galilei tidak menerangkan dengan tepat penggambaran satu kerangka inersia kepada yang lain, kerana kita mengetahui kelajuan cahaya adalah invariant di bawah transformasi koordinat yang betul. Oleh itu, kami telah memperkenalkan transformasi Lorentz. Jarak Euclidian yang dilanjutkan kepada ruang 4-dimensi seperti yang dilakukan di atas adalah tidak berubah di bawah transformasi Lorentz ini, bagaimanapun, jarak yang diinduksi oleh # ds ^ 2 = -dx_0 ^ 2 + dx_1 ^ 2 + dx_2 ^ 2 + dx_3 ^ 2 # adalah, yang kita panggil jarak yang sepatutnya. Oleh itu, walaupun jarak Euclidian di mana teorem Pythagoras memegang adalah struktur matematik yang sempurna dalam ruang 4 dimensi, ia tidak mempunyai makna fizikal, kerana ia bergantung kepada pemerhati.

Jarak yang betul tidak bergantung kepada pemerhati, oleh itu kita boleh memberikan makna fizikal, ini dilakukan dengan menghubungkan arlenght dunia melalui ruang Minkowski menggunakan jarak ini kepada masa yang dilalui yang diperhatikan oleh objek yang bergerak di sepanjang dunia ini. Perhatikan bahawa jika kita meninggalkan masa tetap, teorem Pythagoras masih memegang dalam koordinat spatial.

EDIT / PENERBANGAN TAMBAHAN:

Penanya asal soalan ini meminta saya mengulas lebih lanjut, dia menulis: "Terima kasih. Tetapi, bolehkah anda menerangkan dua paras terakhir sedikit lagi Dalam buku yang saya lihat mereka mempunyai # s ^ 2 = x ^ 2 (ct) ^ 2 #. Sila jelaskan "Pada dasarnya apa yang kita ada di sini adalah versi dua dimensi dari apa yang saya nyatakan di atas. Kami mempunyai keterangan ruang masa dengan satu masa dan satu dimensi ruang. Dengan ini kita menentukan jarak, atau lebih tepatnya norma (jarak dari asal kepada titik) # s # menggunakan formula # s ^ 2 = x ^ 2 (ct) ^ 2 # di mana # x # ialah koordinat spatial dan # t # koordinat temporal.

Apa yang saya lakukan di atas adalah versi tiga dimensi ini, tetapi yang paling penting saya gunakan # (ds) ^ 2 # bukannya # s ^ 2 # (Saya telah menambah kurungan untuk penjelasan mengenai apa yang diperihkan). Tanpa pergi ke detail terperinci geometri terlalu banyak, jika kita mempunyai garis yang menghubungkan dua titik di ruang, # ds # adalah panjang sekeping garis kecil, elemen garis yang dipanggil. Melalui versi 2D dari apa yang saya tulis di atas, kita ada # ds ^ 2 = -dx_0 ^ 2 + dx_1 ^ 2 #, yang menghubungkan panjang sekeping kecil ini kepada perubahan kecil dalam koordinat. Untuk mengira jarak dari asal ke titik # x_0 = a, x_1 = b # dalam masa yang ada, kita mengira panjang garis lurus dari asal ke titik itu, baris ini diberikan # x_0 = a / bx_1 # di mana # x_1in 0, b #, kita ambil perhatian bahawa # dx_0 = a / bdx_1 #, jadi # ds ^ 2 = (1-a ^ 2 / b ^ 2) dx_1 ^ 2 #, jadi # ds = sqrt (1-a ^ 2 / b ^ 2) dx_1 #, yang mana kita dapat mengintegrasikan, memberi # s = int_0 ^ bsqrt (1-a ^ 2 / b ^ 2) dx_1 = bsqrt (1-a ^ 2 / b ^ 2) = sqrt (b ^ 2-a ^ 2).

Oleh itu # s ^ 2 = b ^ 2-a ^ 2 = x_1 ^ 2-x_0 ^ 2 = x ^ 2 (ct) ^ 2 # dalam # (t, x) # koordinat.

Jadi memang apa yang saya tulis di atas memberikan apa yang anda baca dalam buku ini. Walau bagaimanapun versi elemen baris membolehkan anda mengira panjang mana-mana garisan, bukan hanya garisan lurus. Kisah tentang transformasi Lorentz masih memegang, norma ini # s # adalah invarian di bawah perubahan kerangka rujukan, sementara # x ^ 2 + (ct) ^ 2 # tidak.

Hakikat bahawa teorem Pythagoras tidak memegang tidak menghairankan. Teorem Pythagoras memegang dalam geometri Euclidean. Ini bermakna ruang di mana anda bekerja adalah rata. Contoh ruang yang tidak rata adalah permukaan sfera. Apabila anda ingin mencari jarak di antara dua titik di permukaan ini, anda mengambil panjang jalan terpendek di atas permukaan ini yang menghubungkan dua titik ini. Jika anda membina segitiga tepat pada permukaan ini, yang akan kelihatan sangat berbeza dari segitiga di ruang Euclidean, kerana garis tidak akan lurus, teorem Pythagoras tidak memegang secara umum.

Satu lagi ciri penting geometri Euclidean adalah apabila anda meletakkan sistem koordinat di ruang ini, setiap koordinat melakukan peranan yang sama. Anda boleh memutar paksi dan berakhir dengan geometri yang sama. Dalam geometri Minkowski di atas tidak semua koordinat mempunyai peranan yang sama, kerana paksi masa mempunyai tanda minus dalam persamaan dan yang lain tidak. Sekiranya tanda tolak ini tidak ada, masa dan ruang akan mempunyai peranan yang sama dalam masa, atau sekurang-kurangnya dalam geometri. Tetapi kita tahu bahawa ruang dan masa tidak sama.