Apakah punca kuadrat 82?

Jawapan:

# 10> sqrt82> 9 #, # sqrt82 ~~ 9.0554 #

Penjelasan:

# x_ "n + 1" = 1/2 (x_ "n" + S / x_ "n") -> sqrtS # untuk #n -> oo #

S ialah bilangan yang anda aproxximating akar sqaurenya. Dalam kes ini # S = 82 #

Heres apa maksudnya dan bagaimana ia digunakan:

Mula-mula, tangkap, apa yang mungkin menjadi punca kuasa dua?

punca kuasa 81 ialah 9, jadi ia mesti lebih tinggi daripada 9 betul?

Tekaan kami akan # x_ "0" #, katakan 9.2, # x_ "0" = 9.2 #

Memasukkan 9.2 sebagai "x" dalam formula akan memberi kita # x_ "0 + 1" = x_ "1" #

Ini akan menjadi nombor seterusnya yang kita masukkan ke dalam persamaan. Ini kerana kami bermula dengan meneka 9.2 = # x_ "0" #, ini memberi kami nombor #x_ "1" #, memasukkan nombor ini akan memberi kita #x_ "2" #, yang akan memberi kita # x_ "3" # dan sebagainya, sentiasa memberi kami nombor seterusnya apabila kami memasukkan sebelumnya. Bahagian kanan persamaan yang ditunjukkan dengan "#->#"bermakna bahawa apabila" n "menjadi lebih besar dan lebih besar, nombor itu juga semakin mendekati akar kuadrat S, dalam kes ini 82.

Katakan kita melakukan pengiraan yang sama 100 kali! Kemudian kita akan ada #x_ "100" #. Nombor ini akan menjadi sangat dekat dengan punca kuasa S.

Cukup bercakap, mari kita melakukan beberapa pengiraan sebenar!

Kami mulakan dengan tekaan kami # x_ "0" = 9.2 #

# x_ "1" = 1/2 (9.2 + 82 / 9.2) ~~ 9.05652 #

Sekarang lakukan perkara yang sama dengan nombor baru: #x_ "2" = 1/2 (9.05652 + 82 / 9.05652) ~~ 9.05549 #

Mari buat masa lalu: # x_ "3" = 1/2 (9.05549 + 82 / 9.05546) ~~ 9.0554 #

Maksudnya # sqrt82 ~~ 9.0554 #

Dan di sana anda memilikinya!

Maaf jika semua bercakap saya menjengkelkan. Saya cuba menerangkannya secara mendalam dan dengan cara yang mudah, yang selalu bagus jika anda tidak begitu akrab dengan bidang tertentu dalam matematik. Saya tidak nampak mengapa sesetengah orang terpaksa begitu mewah ketika menerangkan matematik:)

Jawapan:

#sqrt (82) = 9 + 1 / (18 + 1 / (18 + 1 / (18 + 1 / (18 + …)))) ~~ 9.0553851381374 #

Penjelasan:

Faktor utama dari #82# adalah:

#82 = 2*41#

Oleh kerana tidak ada faktor segiempat, #sqrt (82) # tidak dapat dipermudahkan. Ini nombor yang tidak rasional sedikit lebih besar daripada #9#.

Walau bagaimanapun, ambil perhatian bahawa #82=81+1 = 9^2+1#.

Oleh kerana ini adalah bentuk # n ^ 2 + 1 #, akar kuadrat mempunyai bentuk yang sangat kerap sebagai pecahan yang berterusan:

#sqrt (82) = 9; bar (18) = 9 + 1 / (18 + 1 / (18 + 1 / (18 + 1 / (18 + …)))) #

Secara umumnya:

#sqrt (n ^ 2 + 1) = n; bar (2n) = n + 1 / (2n + 1 / (2n + 1 / (2n + 1 / (2n + …)

Lebih umum masih:

#sqrt (n ^ 2 + m) = n + m / (2n + m / (2n + m / (2n + m / (2n + …)))) #

Walau apa pun, kita boleh menggunakan pecahan yang berterusan untuk mendapatkan anggaran rasional #sqrt (82) # dengan memuncak.

Sebagai contoh:

#sqrt (82) ~~ 9; 18 = 9 + 1/18 = 163/18 = 9.0bar (5) #

#sqrt (82) ~~ 9; 18,18 = 9 + 1 / (18 + 1/18) = 2943/325 = 9.05bar (538461) #

#sqrt (82) ~~ 9; 18,18,18 = 9 + 1 / (18 + 1 / (18 + 1/18)) = 53137/5868 ~~ 9.05538513974 #

Kalkulator memberitahu saya bahawa:

#sqrt (82) ~~ 9.0553851381374 #

Oleh itu, anda dapat melihat bahawa anggaran kami adalah tepat untuk seberapa banyak digit penting kerana jumlah digit dalam bilangan.